Глава 3. Расчет конструкций на устойчивость

3.1 Основные теоретические положения расчета на устойчивость

Конструкции и их элементы при действии на них внешних нагрузок должны  находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что если система по какой-либо причине выведена из состояния равновесия, то после устранения этой причины она должна вернуться в исходное состояние.

Выход системы из первоначального состояния равновесия называется потерей устойчивости, а нагрузка, соответствующая потере устойчивости, называется критической. Определение этой нагрузки является основной целью расчета на устойчивость.

В зависимости от того, является действующая нагрузка статической или динамической, различают статическую или динамическую устойчивость. В этом разделе будем рассматривать действие только статических нагрузок.

Возможны два варианта потери устойчивости. Потеря устойчивости      I рода (иначе — Эйлерова потеря устойчивости) характеризуется таким состоянием системы, при котором возможно существование двух или нескольких форм равновесия, из которых одна (устойчивая форма) качественно отлична от неустойчивых форм и является единственно возможной до наступления первого критического состояния (рис.3.1).

Рис.3.1

Потеря устойчивости I рода характерна для идеализированных систем: строго прямолинейные элементы; идеальные шарниры; силы приложены на бесконечно малых участках; внешние нагрузки передаются в узлах и т.д. Тем не менее, такая идеализация позволяет получить достаточно простые решения, которые соответствуют экспериментальным данным.

Потеря устойчивости II рода характеризуется переходом к несмежной форме равновесия. Так, с увеличением нагрузки F на систему (рис.3.2) стержни становятся короче, угол между ними изменяется; при критическом значении силы происходит перескок из состояния 1 в несмежное с ним состояние 2.

Рис.3.2

Потеря устойчивости может происходить как при упругих деформациях, так и при работе за пределом упругости.

Каждой критической силе соответствует своя форма потери устойчивости. Число таких форм определяется степенью свободы системы, то есть числом независимых геометрических параметров, необходимых для определения положения всех точек системы, потерявшей устойчивость.

Из n возможных форм неустойчивого равновесия системы с n степенями свободы практически вероятна лишь первая, а остальные возможны при создании соответствующих дополнительных условий.

Существуют три основных метода определения критических сил: статический, энергетический и динамический (или кинематический).

Статический метод, называемый иногда методом равновесия, основан на рассмотрении условий равновесия системы в деформированном состоянии. Здесь критические силы определяются из уравнения, которое в общем случае можно представить в виде определителя

(3.1)

где коэффициенты определителя   зависят от упругих свойств и геометрии системы.

Энергетический метод основан на том, что критическому состоянию соответствует равенство нулю первой   и второй   вариаций потенциальной энергии   системы в деформированном состоянии, что приводит для системы с n степенями свободы к n условиям:

(3.2)

Уравнения (3.2) можно получить и другим способом, используя принцип возможных перемещений применительно к деформированному состоянию системы. При этом составляется n уравнений возможных работ на перемещениях, задаваемых приращением каждого из параметров, определяющих положение системы.

Динамический метод решения задач устойчивости является наиболее общим. Этот метод тесно связан с математической задачей об устойчивости движения. Здесь рассматриваются колебания систем, нагруженных осевыми силами, и определяется та нагрузка, при которой внешнее возбуждение приводит к неограниченному росту амплитуды колебаний во времени.

Для консервативных систем теоретически все три метода дают одинаковые результаты (напомним, что консервативными называются такие системы, в которых работа, совершаемая внешними силами, не зависит от пути, проделываемого силами при переходе из начального в конечное состояние).

Энергетический метод предполагает задание формы упругой линии и приводит, как правило, к завышенным значениям критических сил.

Расчет неконсервативных систем на устойчивость проводится только динамическим методом.