- •Содержание
- •Введение
- •Объём дисциплины и виды учебной работы
- •Тематический план
- •Практическое занятие № 2 Тема: Элементы комбинаторики
- •Литература:
- •Практическое занятие № 3 Тема: Условные и безусловные вероятности событий
- •Литература:
- •Практическое занятие № 4 Тема: Априорные и апостериорные вероятности событий
- •Литература:
- •Практическое занятие № 5 Тема: Случайные величины и законы их распределения
- •Литература:
- •Практическое занятие № 6 Тема: Числовые характеристики случайных величин
- •Литература:
- •Практическое занятие № 7 Тема: Вариационные ряды и способы их представления
- •Литература:
- •Практическое занятие № 8 Тема: Оценки параметров эмпирического распределения
- •Литература:
- •Практическое занятие № 9 Тема: Статистическая проверка гипотез
- •Литература:
- •Методические рекомендации по изучению курса и организации самостоятельной работы студентов
- •Тема 1. Случайные события и вероятности
- •Тема 2. Элементы комбинаторики
- •Тема 3. Условные и безусловные вероятности событий
- •Тема 4. Априорные и апостериорные вероятности событий
- •Тема 5. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 6. Числовые характеристики случайных величин
- •Тема 7. Вариационные ряды и способы их представления
- •Тема 8. Оценки параметров эмпирического распределения
- •Тема 9. Статистическая проверка гипотез
- •Варианты контрольных заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Примеры тестовых заданий для проведения рубежной аттестации
- •Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Вопросы для подготовки к зачёту
- •Российская академия правосудия
- •Контрольное задание
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности»
- •Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности
- •364006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 95
- •394030, Г. Воронеж, ул. Свободы, д. 69, офис 6
Тема 1. Случайные события и вероятности
Опыт – совокупная общественная практика; основа познания и критерий истинности наших знаний об окружающем мире. В узком смысле слова под опытом понимают наблюдение и эксперимент.
Наблюдение – метод исследования предметов и явлений объективной действительности в том виде, в каком они существуют и происходят в природе и обществе в естественных условиях и являются доступными непосредственному восприятию человека.
Эксперимент – научно поставленный опыт, целенаправленное изучение вызванного нами явления в точно учитываемых условиях, когда имеется возможность следить за ходом изменения явления, активно воздействовать на него с помощью целого комплекса разнообразных приборов и средств и воссоздавать это явление каждый раз, когда налицо те же самые условия и когда в этом есть необходимость.
Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате опыта. Случайное событие (или просто событие) – не происшествие, а лишь возможный результат опыта. Событие, которое обязательно наступит в результате опыта, называют достоверным (обозначается символом ), а, которое никогда не произойдёт – невозможным (обозначается символом ).
Событие может состоять из нескольких простых, элементарных исходов.
Совокупность всех элементарных исходов в опыте называется пространством элементарных исходов (обозначается символом ), а сами элементарные исходы точками этого пространства.
Событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно, называют суммой (или объединением) событий А и В и обозначают А + В.
Событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий А и В, называют произведением (или пересечением) событий А и В и обозначают (или просто ).
Событие, состоящее в том, что происходит событие А и не происходит событие В, называют разностью событий А и В и обозначают А В.
Противоположным событию А называется такое событие , которое состоит в том, что событие А не произошло. Для противоположных событий одновременно выполняются два соотношения:
+ A = , A = .
Два события называют несовместными (или несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т. е. АВ = .
Вероятность случайного события А (обозначается Р(А), где Р – оператор вероятности) – численная мера степени объективной возможности наступления данного события, которая удовлетворяет четырём аксиомам.
А1 (аксиома существования вероятности). Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А): Р(А) 0.
А2 (вероятность достоверного события). Вероятность достоверного события равна единице: Р() = 1.
А3 (аксиома сложения). Если события А и В несовместны (АВ = ), то вероятность их суммы равна сумме вероятностей отдельных событий.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
А4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий , т.е. , то .
Важнейшие следствия, вытекающие из аксиом вероятности:
1. Вероятность противоположного события
= 1 Р(А).
2. Вероятность невозможного события равна нулю:
Р() = 0.
3. Вероятность любого события Р(А) [0, 1].
4. Если события А1, А2, ..., Аk попарно несовместны, то
Р(А1 + А2 + ...+ Аk) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аk).
5. Если события А1, А2, ..., Аk образуют полную группу, то
Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аk) = 1.
6. (теорема сложения) Для произвольных событий А и В вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения, т. е.
.
Классическое определение вероятности (классическая вероятность): вероятность события А равна отношению числа М возможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события А, к числу N всех возможных исходов опыта, т.е. .
Геометрическое определение вероятности (геометрическая вероятность): вероятность события А (попадания точки, брошенной наудачу в область g часть области G) равна отношению размера области g, попадание в которую благоприятствует наступления события А, к размеру области G, в которую точка попадёт достоверно, т.е. , где mes – мера (длина, площадь, объём) области.
Статистической вероятностью (или относительной частотой) события А называется отношение числа m опытов, в которых данное событие произошло, к общему числу n фактически произведённых опытов, т.е. .