Метод сечений
Прежде чем знакомится с методом сечений, вспомним условие равновесия из курса «Теоретической механики». Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат (x, y, z) была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей также была равна нулю.
Эти условия записываются следующим образом:
∑ Xi = 0; ∑ Yi = 0; ∑ Zi = 0;
∑ M x (Pi) = 0; ∑ M y (Pi) = 0; ∑ M z (Pi) = 0,
где Xi, Yi, Zi – проекции силы Pi соответственно на оси координат x, y, и z:
M x (Pi), M y (Pi), M z (Pi) – моменты силы Pi относительно осей координат x, y, и z соответственно;
i = 1. 2. 3. … n – число внешних сил и пар сил, приложенных к рассматриваемому телу, включая и число опорных реакций.
Метод сечений применяется для того, чтобы выявить внутренние силы и внутренние моменты, которые действуют между всеми смежными частицами внутри тела при его нагружении.
Рассмотрим брус (рис. 1), который под действием внешних сил находится в равновесии. В местах закрепления бруса возникают опорные реакции, которые также относятся к внешним силам. Значения опорных реакций определяются с помощью формул, составляющих условия равновесия.
В соответствии с методом сечений брус мысленно рассекается в каком-либо сечении (I - I), после чего отбрасывается правая или левая его часть. Рассмотрим оставшуюся, например, левую часть. Действие отброшенной части заменим приложением к рассматриваемому сечению векторов – равнодействующей всех внешних сил R и главным моментом Mгл сил, действующих на отброшенную правую часть. Целесообразно определять не векторы R и Mгл, а их составляющие по координатным осям в рассматриваемом сечении. Для их определения к этому сечению оставшейся части бруса прикладываются три проекции внутренних сил на оси x, y и z, а также три внутренних момента относительно этих же осей.
Рис. 1. Метод сечений
Эти силы и моменты являются указанными составляющими и представляют собой результат воздействия отброшенной правой части бруса на его рассматриваемую левую часть. По третьему закону Ньютона действие сил и моментов сил на правую и левую части бруса будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлению.
Выберем систему координат и определим какие внутренние силы и внутренние моменты возникают в рассматриваемом сечении:
начало координат – точка «О», которая совпадает с центром тяжести рассматриваемого сечения;
ось x – продольная ось бруса, которая перпендикулярна к рассматриваемому сечению, т.е. направлена к нему по нормали. Поэтому внутренняя сила, направленная по этой оси, называется нормальной силой N, вызывающей растяжение, если она направлена от сечения, или сжатие, если направлена к сечению. Внутренний момент относительно оси x вызывает скручивание бруса и называется крутящим моментом Mк;
оси y и z лежат в плоскости поперечного сечения бруса. Если поперечное сечение бруса имеет хотя бы одну ось симметрии, то тогда одну из осей y, или z совмещают с осью симметрии. Внутренние силы, направленные вдоль этих осей, называются поперечными силами Qy и Qz, т.к. они лежат в плоскости поперечного сечения. Эти силы также называют перерезывающими, они как бы перерезывают это сечение бруса. Внутренние моменты относительно этих же осей y и z называются изгибающими моментами Мy и Мz.
В нижней части рисунка 1 приведены формулы, отражающие условие равновесия рассматриваемой части бруса под влиянием внешних сил, действующих на эту левую часть, и под влиянием внутренних сил и внутренних моментов, отражающих результат воздействия отброшенной правой части. Рассматриваемая часть бруса действительно находится в равновесии, т.к. рассечение бруса и отбрасывание его другой части являются вымышленными операциями. С помощью формул условий равновесия выводятся формулы для определения внутренних сил и внутренних моментов, которые также приведены на этом рисунке.
Общее правило:
внутренние силы N, Qy, Qz (или внутренние моменты Мк, Мy, Мz) равны сумме проекций на соответствующие оси x, y, z всех внешних сил Pi, действующих с одной стороны (слева или справа) от рассматриваемого сечения, (или равны сумме моментов относительно соответствующих осей x, y, z всех внешних сил, действующих слева или справа от рассматриваемого сечения).
Например:
N = ∑слеваXi; Qy = ∑слеваYi; Qz = ∑слеваZi;
Мк = ∑слеваМx(Pi); Мy = ∑слеваМy(Pi); Мz = ∑слеваМz(Pi).
Мерой распределения внутренних сил или моментов по поперечному сечению является напряжение. Нормальные силы и изгибающие моменты вызывают в поперечных сечениях нормальные напряжения σ, а поперечные силы и крутящий момент – касательные напряжения τ, которые лежат в плоскости поперечного сечения.