§ 56. Цепь переменного тока с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями

На рис. 57, а изображена цепь переменного тока, в которую   включены  последовательно   активное  сопротивление r,  индуктивность L, обладающая индуктивным сопротивлением Х_L, и емкость С, обладающая емкостным сопротивлением Хс.

Под действием переменного напряжения в этой цепи протекает переменный ток.

Выясним, чему равно общее напряжение на за­жимах цепи. Построим векторную диаграмму то­ка и напряжений для рас­сматриваемой цепи (рис. 57, б). Так как сопротив­ления соединены последовательно, то в них проте­кает одинаковый ток. Отложим по горизонтали, в    выбранном    масштабе вектор тока I. В цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпа­дают   по   фазе,   поэтому вектор напряжения Uа от­кладываем по вектору тока.

Напряжение на индуктивности опережает ток на угол  = 90°. Поэтому век­тор U_L откладываем вверх

под углом 90° к вектору тока.

В цепи с емкостью, наоборот, напряжение отстает от тока на угол  = 90°. Поэтому вектор Uc откладываем на диаграмме вниз под углом 90° к вектору тока.

Для определения общего напряжения, приложенного к зажимам цепи, сложим векторы U_L и U_С. Для этого отнимем от большего вектора U_L вектор U_С и получим вектор U_L-U_C, выражающий вектор­ную сумму этих двух напряжений. Теперь сложим векторы (U_L-U_C) и U_a. Суммой этих векторов будет диагональ параллелограмма – вектор U, изображающий общее напряжение на за­жимах цепи.

На основании теоремы Пифагора из треугольника напряжений АО Б следует, что

отсюда общее напряжение

Определим полное сопротивление цепи переменного тока, со­держащей активное, индуктивное и емкостное сопротивления. Для этого разделим стороны треугольника напряжений АОБ на число I выражающее силу тока в цепи, и получим подобный треугольник сопротивлений А'О'Б' (рис. 57, в). Его сторонами являются сопро­тивления r, (Х_L — Хс) и полное сопротивление цепи Z.

Пользуясь теоремой Пифагора, можно написать, что

Отсюда полное сопротивление цепи

Силу тока в цепи с активным, индуктивным и емкостным сопро­тивлениями определяют по закону Ома:

На векторной диаграмме (рис. 57, б) видно, что в рассматри­ваемой цепи ток и напряжение генератора не совпадают по фазе. Из треугольника напряжений следует, что

Из треугольника сопротивлений

 

§ 57. Цепь переменного тока с параллельно соединенными сопротивлениями

На рис. 58 изображена цепь переменного тока, в которую включены параллельно две катушки. Каждая из этих катушек обладает соответственно активным сопротивлением r₁ и r₂ и индуктивным сопротивлением X_L1 и X_L2.

Полное сопротивление первой катушки

 

Полное сопротивление второй катушки

Напряжение на   зажимах   катушек   равно   напряжению генератора.

Сила   тока в каждой   катушке   определяется   согласно   закону Ома:

Из этих равенств можно сделать вывод, что в такой цепи токи раз­ветвляются обратно пропорционально полным сопротивлениям ветвей.

Для определения угла сдвига фаз между напряжением и током

в каждой катушке вычисляют    и     и по таблице тригонометрических функций находят значения углов ₁ и ₂.

Чем больше угол сдвига фаз между напряжением и током, тем больше реактивный ток и меньше активный, тем хуже используется электрический ток в данной установке, ниже ее коэффициент мощ­ности (cos ).

Так как первый закон Кирхгофа справедлив для цепей перемен­ного тока, то в рассматриваемой цепи общий ток определяется гео­метрическим сложением векторов (рис. 58,6).

По горизонтали в выбранном масштабе отложим вектор напря­жения U. Так как ток в цепи с индуктивностью отстает от напря­жения, то вектор тока  I₁ выбранном масштабе отложим с по­мощью транспортира под углом ₁ к вектору напряжения U, а век­тор тока I₂ и отложим под углом ₂. Общий ток в цепи будет равен сумме векторов тока I₁ и I₂, который определяется с учетом выбран­ного масштаба.

Чтобы найти общий ток, нужно воспользоваться тем, что актив­ная составляющая общего тока — общий активный ток равен сумме активных токов ветвей:

а общий реактивный ток — сумме реактивных токов ветвей (если все эти реактивные токи, отстающие по фазе или все опережаю­щие):

После чего определяют общий ток:

Угол сдвига фаз между общим током и напряжением ср находят по векторной диаграмме.

Пример. Три катушки соединены параллельно и к ним подключено перемен­ное напряжение U=100 в. Частота тока 50 гц. Активное сопротивление катушки r₁=2 ом; r₂=3 ом; r₃=4 ом;

Индуктивность катушек L₁=0,04 гн; L₂=0,03 гн; L₃=0, 01 гн.

Вычислить силу тока в каждой катушке и общий ток в цепи, а также угол сдвига фаз между током и напряжением.

Решение. Индуктивное сопротивление катушек:

Полное сопротивление катушек:

Сила тока в катушках:

Общий ток в цепи равен векторной сумме токов.

Для определения угла сдвига фаз между током и напряжением каждой вет­ви вычисляют:

По таблице тригонометрических функций находят, что если cos ₁=0,157, то угол сдвига фаз в первой ветви ₁=80⁰55’; если cos ₂=0,305, то угол сдвига фаз ₂=72⁰15’; если cos ₃=0,79, то угол сдвига фаз ₃=37⁰50’;

Зная угол сдвига фаз между током и напряжением для каждой ветви, построим векторную диаграмму токов и напряжения и определим по ней общую силу тока в цепи.

Для этого отложим  по горизонтали   в выбранном   масштабе   вектор   напряжения U.

Под   углом   ₁=80°66'   с помощью   транспортира   отложим   вектор    тока I₁=7,85 а. Под углом ₂=72°15' (к горизонтали)    отложим   вектор    I₂= 10,15 а как продолжение вектора  I₁. Под углом ₃=37°50' (к Горизонтали) отложим вектор I₃= 19,7 а как продолжение   вектора I₂. Общий   ток равен   длине вектора I с учетом  выбранного  масштаба, который соединяет  начало  вектора I₁ и конец   вектора I₃. Для нашего примера он равен 36,5 а. Общий угол сдвига фаз между током I и напряжением U измеряют с помощью транспортира, он равен 56°.