Теория вероятностей
Опыт бросания кости:
A={выпадение 5 очков}
B={выпадение четного числа очков}
C={выпадение 7 очков}
D={выпадение целого числа очков}
E={выпадение не менее 3-х очков}
Найти случайные, невозможные, достоверные, совместимые и не совместимые события.
В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность, что наудачу вынутый шар окажется белым?
Найти вероятность того, что в наудачу записанном двузначном числе цифры разные?
Набирая номер телефона, абонент забыл 2 последние цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны цифры.
а) без повторения
б) с повторением.
5. Сколько 3-хзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 если
а) цифры не повторяются;
б) цифры могут повторяться?
6. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно
выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
7. В урне 9 шаров, из них 5 белых и 4 черных Из урны вынимают 4 шара. Найти
вероятность того, среди них будет 2 белых и 2 черных.
8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 19. Какова вероятность того, что делится на 4?
Схема выбора без возвращений.
Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?
Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой
а) стоят 10 красных и 4 розовых гвоздик;
б) Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят
10 красных и 4 розовых гвоздик, если выбрать 1 красную и 2 розовых?
Схема выбора с возвращением.
Сколько пятизначных чисел можно составить используя цифры :
а) 2,5,7,8;
б) 0,1,9?
Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр: 3,3,5,5,8?
Сколько различных слов из 3-х букв, можно образовать из букв слова «Буран»?
А если слово содержит не менее 3-х букв?
5. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется
12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
6. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместных, трехместных
и четырехместных номерах гостиницы?
7. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно
составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4
разных занятия?
Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?
Сколькими способами три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?
Из 4-х первокурсников, 5-ти второкурсников, 6-ти третьекурсников надо выбрать три студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?
Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные 3 книги стояли:
а) рядом;
б) не рядом?
В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было:
а) 5 черных;
б) 3 белых и 2 черных?
Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по 3 –м районам, если в одном из них имеется 8, в другом -5, и в третьем – 2 вакантных места?
Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове:
а) Гора;
б) Институт?
В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность, что среди наугад вынутых 5-ти шаров 3 будут черными?
В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:
а) все они одного цвета;
б) все они разных цветов;
в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?
Дано шесть карточек с буквами: Н,М,И,Я,Л,О. Найти вероятность того, что:
а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть
карточек и располагаются в порядке появления?
Противоположные события.
Теорема сложения. Теорема умножения. Теорема «Полная вероятность».
1. Набирая номер телефона, абонент забыл 1 цифру и набрал ее наудачу. Найти
вероятность того, что набрана нужная цифра.
2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние2 цифры и, помня, лишь, что
эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набрана
нужные цифры.
3. В коробке 30 карандашей, среди них 10 красных, остальные синие и зеленые
Извлекается 1 карандаш. Вероятность извлечь один синий карандаш равна 1/6.
Найти вероятность появления не зеленого карандаша.
4. Вероятность одного попадания в цель при залпе из 2-х орудий равна 0,47. Найти
вероятность поражения цели при одном выстреле 1-ым орудием, если для 2-ого
орудия эта вероятность равна 0,7.
5. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при 3-х выстрелах равна 0,645. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
6. Две лампочки включены последовательно в цепь. Вероятность перегорания любой из них равна 0,5. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.
7. Вероятность поражения цели при выстреле из одного орудия равна 0,6. Найти вероятность поражения цели при залпе из 3-х орудий.
8. На стеллаже библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников в переплете.
9. Вероятность появления события в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность хотя бы одного появления события в 5-ом испытании.
10. На складе 12 кинескопов, из них4 бракованных. Наудачу отобрано 4 кинескопа.
Найти вероятность того, что среди них нет бракованных.
11. Вероятность поражения цели 1-ым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а 2-ым 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
12. Вероятность того, что при повышении напряжения тока в цепи не будет, равна 0,99968. Найти вероятность перегорания любых из 5-ти одинаковых лампочек, последовательно включенных в эту цепь.
13. Вероятность поражения цели при залпе из 4-х одинаковых орудий равна 0,9919. Найти вероятность поражения цели при залпе из одного орудия.
14. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0,7. Найти вероятность того, что из 3-х проверенных изделий только 2 стандартных.
15. Имеются 2 одинаковые урны. В 1-ой находятся 2 зеленых и 3 черных шара. Во 2-ой находятся 4 красных и 1 черный шар. Из наудачу взятой урны взяли 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черный.
16. В урне находятся 1 белый и 2 черных шара. Из урны поочередно вынимают 2 шара, но после первого вынимания, шар возвращается в урну, шары перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.
17. В 1-ом ящике 13 черных и 7 белых шаров. Во 2-ом ящике 8 черных и 7 белых шаров. Из произвольного ящика достают один шар. Найти вероятность того, что он черный.
19. Устройство представляет собой последовательное соединение элементов, каждый из которых может выйти из строя с вероятностью 0,08. При неисправности хотя бы одного элемента устройство не работает. Найти вероятность работы устройства.
20. В урне находятся 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом
1) Вынимается наугад один шар. Найти вероятность того, что он белый.
2) Вынимается наугад два шара. Найти вероятность того, что:
а) оба шара белые, б) хотя бы один черный.
21. Три человека произвольно заходят в электричку из 8-ми вагонов. Какова вероятность того, что они все:
а) зайдут в один вагон;
б) зайдут в вагон №3;
в) разместятся в разные вагоны?
22. Из 40 вопросов, входящих в билеты, студент знает только 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов он знает:
1) 3 вопроса;
2) 2 вопроса;
3) 1 вопрос.
23. В урне находятся 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-ой шар окажется белым при условии, что 1-ый шар был черным?
24. В коробке находятся 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают три шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой – синим, 3-ий - черным?
25. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слово:
а) ТИСКИ;
б) КИСКА;
в) КИТ;
д) СТАТИСТИКА?
26. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
27. Два орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель:
а) только одного из орудий;
б) хотя бы одного.
28. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель:
а) только одного из орудий;
б) хотя бы одного.
29. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из 1-ого цеха и 60% из 2-ого цеха. В 1-ом цехе производится 90% стандартных деталей, а во 2-ом 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.
30. Двое друзей Антон и Петя, стоят в очереди из 8 человек. Найти вероятность того, что:
а) Антон и Петя стоят рядом;
б) между Антоном и Петей стоят 2 человека.
31. Вероятность попадания в цель при
стрельбе из 3-х орудий такова:
.
Найти вероятность хотя бы одного
попадания при одном залпе из всех орудий.
32. Двенадцать человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице, в которой есть 1 (один) 4-хместный номер, 2 (два) 3-хместных и 1 (один) 2-хместный номер. Какова вероятность того, что Петров и Иванов окажутся в 2-х местном номере?
33. Куб, все грани которого раскрашены, распилили на 1000 кубиков. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет две окрашенные грани.
34. В ящике 15 деталей среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется одна окрашенная.
35. В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку, наудачу, отобрали 15 студентов. Найти вероятность того, что среди них 4 отличника.
36. В подарочном пакете среди 20 конфет 13 шоколадных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5-ти конфет нет шоколадных.
37. В конверте 15 купюр, из них 5 фальшивых. Найти вероятность, что из 4-х извлеченных купюр одна фальшивая.
38. В ящик, содержащий 2 шара, добавили 2 черных шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется черным, если равновозможные все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.
39. Два баскетболиста делают по одному броску в корзину. Вероятность попадания для одного из них равна 0,8, а для другого 0,7.
а) Найти вероятность того, что ровно один из них промахнется.
б) Найти вероятность того, что хотя бы один из них промахнется.
в) Найти вероятность того, что хотя бы один из них попадет.