Криволінійний інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

[Ред.]Криволінійний інтеграл і роду

Основна стаття — Криволінійний інтеграл І роду Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B наn довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму . Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай   — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по крвій AB і позначають  або  . Таким чином, за означенням .

[Ред.]Криволінійний інтеграл іі роду

Основна стаття — Криволінійний інтеграл ІІ роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму , де   — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x. Нехай   — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називаютькриволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають  або  . Таким чином, за означенням . Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y: , де   — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Oy. Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині: Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно: