2 Случай – 2 или несколько градаций.

χ² – критерий Пирсона.

Он отвечает на вопрос, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределении. Позволяет сравнивать измерения не только в дихотомической шкале, но и с любым другим числом классов.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

, где - эмпирические частоты, вычисленные по выборке, - теоретические частоты, вычисленные в случае истинности нулевой гипотезы.

Критическое значение находится по таблице критических точек распределения χ² и зависит от уровня значимости α, числа степеней свободы f (f = k – 1), где k – число градаций.

Критерий правосторонний.

Ограничения критерия:

Замечание: Если у признака несколько градаций, то возникает проблема множественных сравнений. Если Н₀ отвергается, то остается неопределенность. Сравниваемые величины не тождественны, но по какой из градаций – неизвестно. Для конкретизации необходимы попарные сравнения.

§2. Сравнение двух эмпирических распределений.

Независимые выборки. Используются:

• Критерий φ* - угловое преобразование Фишера.

• Критерий оценки разности между долями.

• Точный критерий Фишера.

• χ² – критерий Пирсона.

φ* - угловое преобразование Фишера

Предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя признака.

Оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован эффект.

Суть углового преобразования состоит в переводе процентных долей в величину центрального угла, измеряемого в радианах. Большей процентной доле соответствует больший угол, но отношение не линейное: .

При увеличении расхождения между углами φ₁ и φ₂, увеличении численности выборок наблюдаемое значение возрастает. Чем больше φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀ – процентные доли в сравниваемых выборках равны;

Н₁ – процентная доля в первой выборке превышает процентную долю во второй выборке

Значения φ₁ и φ₂ находим по таблице или по формуле.

Вычисляем наблюдаемое значение критерия: .

По полученному φ_н в таблице находим уровень значимости различия долей.

Ограничения критерия:

χ² – критерий Пирсона.

Предназначен для сравнения двух или нескольких эмпирических распределений между собой.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

, где - эмпирические частоты, вычисленные по выборке, - теоретические частоты, вычисленные в случае истинности нулевой гипотезы.

Критическое значение находится по таблице критических точек распределения χ² и зависит от уровня значимости α, числа степеней свободы f ( ), где a – число градаций, b – число выборок.

Критерий правосторонний.

Ограничения критерия:

Пример. Изучалось 2 условия запоминания материала. 100 испытуемых случайным образом были разделены на 2группы по 50 человек для каждого условия. После обучения в 1 группе усвоили материал 24 человека, во второй – 34. Есть ли статистически значимые различия в усвоении материала?

Решение.