Тема 2. Элементы математической логики. §1. Высказывания и логические операции над ними.
Каждый шаг в познании окружающего мира связан с изучением новых объектов, установлением взаимосвязи между новыми и ранее изученными объектами. Эти связи устанавливаются в виде предложений. Из одних предложений выводятся другие. Так образуются рассуждения.
Рассуждения, применяемые в различных областях знаний и в повседневной жизни, разные по своему содержанию, могут иметь одну и ту же форму (структуру). Формы рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания, изучает формальная логика. Основоположником формальной логики был Аристотель (4 век до н.э.). В течение многих веков его логика лишь совершенствовалась. Значительный прогресс был связан с выходом в свет в 1854 году сочинения Джорджа Буля «Исследование законов мысли». В логику вошли математические языки и математические методы, что повлекло за собой возникновение современной математической логики.
Определение: Под предложением в логике понимают любое языковое выражение или соединение слов, имеющих самостоятельный смысл.
Определение: Высказывание – предложение, про которое объективно и определенно можно сказать истинно оно или ложно.
Например:
Высказывания принято обозначать латинскими буквами p, q, r, s…
Каждое высказывание может быть истинным или ложным, но не может быть истинным и ложным одновременно.
Все высказывания подразделяются на простые (элементарные) и сложные (составные).
Определение: Логической операцией называют образование сложного высказывания из простых.
Виды логических операций:
Отрицанием некоторого высказывания называют высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда само высказывание р ложно. Образуется с помощью союза «не» и обозначается
.
Например:
Конъюнкцией двух высказываний p и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Образуется с помощью союза «и»
Обозначается
Например:
Можно построить конъюнкцию любого числа высказываний. Она будет истинной только в том случай, когда истинны все высказывания.
Дизъюнкцией двух высказываний p и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний p или q.
Образуется с помощью союза «или».
Обозначается
Например:
Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. Можно определить дизъюнкцию любого числа высказываний. Она будет истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложна в том случае, если все высказывания ложны одновременно.
Импликацией двух высказываний p и q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание p истинно, а q – ложно. В импликации p является посылкой, а q – заключением
Образуется с помощью союза «если…, то…»
Обозначается
Например:
Возможны 4 случая:
Говорящий хорошо сдал экзамены и поехал отдыхать.
Говорящий хорошо сдал экзамены и не поехал отдыхать.
Говорящий плохо сдал экзамены и поехал отдыхать.
Говорящий плохо сдал экзамены и не поехал отдыхать.
Эквиваленцией двух высказываний p и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или ложны одновременно.
Образуется с помощью союза «тогда и только тогда, когда…»
Обозначается
Например: