§5. Кванторы всеобщности и существования.
Известно, что преобразовать предикаты в высказывания можно путем подстановки вместо предметных переменных их значений. Существуют и другие операции, при помощи которых предикаты преобразуют в высказывания. Примером этого может являться операция навешивания кванторов или связывание кванторами.
Выражение «Для всех х» («Для любого х», «Для всякого х») называется квантором всеобщности и обозначается х.
Выражение «Существует х» («Найдется х») называется квантором существования и обозначается х.
Приписывание к предикату квантора называется операцией навешивания квантора или связыванием квантором. Переменная х в данном случае называется связанной.
х Р(х) – для любого х выполняется предикат Р(х),
х Р(х) – существует х такое, что выполняется предикат Р(х).
Например:
Кроме квантора всеобщности и существования в математике для сокращения записи иногда используют квантор существования и единственности х.
Например:
Рассмотрим отрицание кванторов:
Правило отрицания квантора: При отрицании высказывания с квантором квантор всеобщности заменяется на квантор существования и наоборот, а знак отрицания переносится на выражение, стоящее под знаком квантора.
Например:
§6. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода.
Под рассуждением мы будем понимать такие логические действия, при которых из одного или нескольких предложений получается новое предложение, содержащее новое значение. При этом исходные предложения называются посылками, а новое – заключением.
Рассуждение считается правильным, если с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение. При составлении таблицы истинности правильное рассуждение будет тождественно истинным (истинным при любом наборе значений высказывательных переменных).
Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок будем считать неправильным.
Анализ рассуждения – это выделение его формы или схемы, отвлеченно от содержания, и выяснение его правильности.
Способ получения правильных рассуждений, в которых рассуждение логически следует из посылок 1, 2, …n будем называть правилом вывода.
Простейшие правила вывода:
Правило заключения.
Например:
Х – множество студентов данной группы, х – произвольный студент, х=а – студент Сергей. Р(х) – Студент обучается в данной группе. Q(x) – Студент х – спортсмен.
Правило отрицания.
Например:
Правило контрапозиции.
Например:
Правило силлогизма.
Например:
§7. Объем и содержание понятий. Способы определения понятий.
Термин «понятие» соединяет в себе целый класс объектов или отношений произвольной природы, обладающих определенным характеристическим свойством или набором свойств.
Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.
Объемом понятия а называется множество А объектов или отношений, охваченных данным понятием.
Пример:
Содержанием понятия а называется множество всех свойств, каждое из которых присуще множеству А.
Пример:
Понятия а и b называются несовместными, если их объемы не пересекаются.
Понятия а и b называются совместными, если их объемы пересекаются
Понятия а и b называются тождественными (равносильными), если их объемы равны.
Понятия а и b называются противоположными, если их объемы являются дополнениями друг к другу.
Способы определения понятий.
При изучении понятия в любой науке ему дают определение. Чтобы дать определение, нужно указать место понятия в ряду других понятий, выявить связи, зависимости от других понятий.
Определения могут быть вербальными и невербальными.
Невербальное определение может быть:
Остенсивным (с помощью непосредственной демонстрации объектов).
Контекстуальным (с помощью приведения контекста).
В вербальном определении можно выделить определяемое и определяющее понятия. Может даваться следующими способами:
Классическое – через род и видовое отличие. Указывается некоторое множество (род), к которому при надлежит определяемое понятие, и свойство, которым выделяют определяемый объект из объектов этого рода.
Пример:
Рекурсивное – указываются некоторые основные элементы из объема понятия и даются правила, позволяющие получить новее элементы.
Пример:
Дискрипция – объекты и отношения определяются указанием их свойств.
Пример:
Аксиоматическое – понятия вводятся с помощью списка аксиом, описывающих свойства данного понятия.
Пример:
Требования к определениям понятий.
Соразмерность – объемы определяющего и определяемого понятия должны совпадать.
Пример:
Отсутствие порочного круга – определяемое понятие не должно содержаться в определяющем.
Пример:
Отсутствие амонимии – каждый термин в качестве определяемого должен встречаться не более одного раза.
Пример:
Отсутствие лишних свойств, которые можно вывести из других.
Определение, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам, называется корректным.