§4. Предикаты и логические операции над ними

Определение: Предложение, содержащее предметную переменную и становящееся высказыванием при подстановке вместо переменной ее значения, называется высказывательной формой. С помощью высказывательной формы каждому элементу из множества Х ставится в соответствие логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Высказывательная форма является функцией, определенной на множестве Х, со значением на множестве {ИСТИНА; ЛОЖЬ}. Такая высказывательная форма называется логической функцией или предикатом.

Предикат одноместный, если содержит одну предметную переменную: Р(х). Предикат многоместный, если содержит две или более предметных переменных: Р(х, у…).

Определение: Областью определения предиката называется множество значений, которые может принимать предметная переменная х.

Каждый предикат разбивает область определения на два подмножества: в одном из них он принимает истинное значение, в другом – ложное.

Определение: Областью истинности предиката называют то подмножество области определения, на котором он принимает истинное значение. Обозначают Т_р.

Логические операции над предикатами:

О трицанием предиката Р(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях хÎU, при которых Р(х) становится ложным.

Обозначается

Область истинности предиката является дополнением к области истинности предиката Р(х).

Например:

Конъюнкцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых оба предиката Р(х) и Q(х) одновременно обращаются в истинные высказывания.

Обозначается

О бласть истинности конъюнкции есть пересечение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х).

Например:

Дизъюнкцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых хотя бы один из предикатов обращается в истинное высказывание

Обозначается

О бласть истинности дизъюнкции есть объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х).

Например:

И мпликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в ложное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых Р(х) становится истинным, а Q(х) - ложным.

Обозначается

Область истинности импликации есть объединение дополнения к области истинности Р(х) с областью истинности предиката Q(х).

Например:

Эквиваленцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное значение при тех и только тех значениях хÎU, при которых Р(х) и Q(х) одновременно обращаются в истинное или ложное высказывание.

О бозначается

Область истинности эквивалентности есть объединение пересечения областей истинности предикатов Р(х) и Q(х) и пересечения дополнений к областям истинности предикатов Р(х) и Q(х).

Например: