6. Векторные пространства

Пусть имеется поле Р и множество V, на котором заданы две операции: внутренняя бинарная операция сложения и операция умножения элементов множества V на элементы поля, результат умножения принадлежит множеству V. Множество V называется векторным пространством над полем Р, а его элементы – векторами, если V – абелева группа относительно + и для любых ,Р и x,yV выполнено:

1. 0х=0, где 0Р, 0V, где 0 - нуль пространства;

2. 1х=х, где 1Р;

3. ()х=(х);

4. (+)х=х+х;

5) (х+у)=х+у.

Вектор ₁х₁+…+_пх_п, где ₁,…,_пР, называется линейной комбинацией векторов х₁,…,х_п из V. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если ₁=…=_п=0, и нетривиальной в противном случае.

Векторы х₁,…,х_п линейно зависимы, если их некоторая нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, и линейно независимы - в противном случае.

Пространство V называется п–мерным, а п – числом измерений или размерностью пространства V (обозначается dimV=п), если в V существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов из V линейно зависимы.

Если в пространстве V имеется линейно независимая система из любого числа векторов, то пространство V называется бесконечномерным.

Система {х₁,…,х_п} линейно независимых векторов п–мерного пространства называется базисом пространства. Любой элемент пространства V представляется однозначно в виде линейной комбинации элементов базиса:

х=₁х₁+…+_пх_п.

Элементы поля ₁,…,_п называются координатами вектора х в базисе {х₁,…,х_п}. При разных базисах координаты вектора х в общем случае различны.

Пример 1.5. Векторные пространства.

а) Пространство n–мерных векторов над полем Р (обозначается Рⁿ), которое есть множество {(₀,₁,…,_п-1)} слов длины n в алфавите Р; сумма векторов определена формулой

(₀,₁,…,_п-1)+(₀,₁,…,_п-1)=(₀+₀,₁+₁,…,_п-1+_п-1),

и умножение вектора на скаляр  (элемент поля) определено формулой

(₀,₁,…,_п-1)=(₀,₁,…,_п-1).

Пример базиса пространства Рⁿ - система n векторов, у которых ровно одна координата равна единице поля, а остальные координаты равны нулю поля.

б) множество Р[x] многочленов (над полем Р) степени, меньшей п:

Р[x]={₀+₁x+₂x²+…+_п-1x^п-1},

пример базиса пространства Р[x] - система многочленов {1,x,…,x^п-1}.

в) множество P^ бесконечных последовательностей над полем P, пример базиса – множество последовательностей, у которых на i-м месте записана 1 поля, а на остальных местах – нули, i=1,2,… w

Подмножество V пространства V, являющееся пространством, называют подпространством пространства V. Подмножество V, замкнутое относительно обеих операций, образует подпространство, при этом dimVdimV.

Пересечение подпространств пространства также есть подпространство.

Если HV, то наименьшее подпространство V пространства V, содержащее в качестве подмножества H, то есть HVV, называют линейной оболочкой множества H или подпространством, порождённым множеством H. Это подпространство (обозначается H) состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов множества H.

1 Понятие определителя (детерминанта) квадратной матрицы и его свойства даны в курсе линейной алгебры.

12