3. Кольца и поля

Множество R с бинарными операциями + и  называется кольцом, если:

1. R – абелева группа относительно операции +;

2. операция умножения ассоциативна;

3. выполнены законы дистрибутивности, то есть для всех a,b,cR

a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca.

Нейтральный элемент аддитивной группы кольца называется нулём кольца (обозначается 0). Обратный элемент к a по сложению обозначается (-a).

Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, то есть такой элемент e, что ae=ea=a для любого aR. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна.

Подкольцо кольца R - это подмножество R, являющееся кольцом, обозначается RR.

Пример 3. Кольца:

а) множество целых чисел Z, множество четных чисел - подкольцо;

б) множество рациональных чисел Q;

в) множество действительных чисел R;

г) множество {0,1}, в котором сложение и умножение задано таблицами:

+	0	1			0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	0		1	0	1

Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения. Иначе говоря, полем называется множество Р элементов, на котором определены операции сложения + и умножения , обладающие свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, при этом относительно обеих операций существуют нейтральные элементы и для всякого a (для всякого b0) существует обратный элемент относительно операции + (относительно операции ). Так как поле Р содержит 1, то М_Р(п) - кольцо с единицей Е матриц порядка п над Р.

Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным.

Пример 1.4. Поля:

а) множество рациональных чисел;

б) множество действительных чисел;

в) множество комплексных чисел;

г) множество {0,1}, рассмотренное в примере 3г. w

4. Кольца матриц

Важное место при изучении математических моделей занимают матрицы. Матрицей А размера пт над множеством X называется прямоугольная таблица с п строками и с т столбцами, в каждой ячейке которой записан элемент множества X. Обозначается: А=(а_ij), где а_ij есть элемент матрицы А, записанный в i–й строке и j–м столбце, i=1,…,n, j=1,…,m. Если п=т, то А – квадратная матрица порядка п.

Для матриц над произвольным кольцом R определено сложение и умножение. Если А=(а_ij), В=(b_ij) - матрицы размера пт, то А+В=(c_ij) – тоже матрица размера пт, где c_ij=а_ij+b_ij. Если А=(а_ij) - матрица размера пт и В=(b_ij) - матрица размера тr, то АВ=(c_ij) - матрица размера пr, где c_ij = . Сложение и умножение элементов матриц выполняется в R.

Главной диагональю квадратной матрицы порядка п называют упорядоченную выборку элементов (a_1,1,…,a_n,n).

Множество квадратных матриц порядка п над кольцом R образует кольцо (обозначим его М_R(п)). Матрица АМ_R(п) называется:

1. верхнетреугольной, если а_ij=0 при i>j, где 0 - ноль кольца R;

2. нижнетреугольной, если а_ij=0 при i<j;

3. диагональной, если А - и верхнетреугольная, и нижнетреугольная.

При заданных операциях:

1. множество матриц размера пт над аддитивной полугруппой (группой) G образует аддитивную полугруппу (группу), где нейтральный элемент есть матрица, состоящая из нулей полугруппы (группы) G;

2)) М_R(п) образует кольцо; если кольцо R с единицей, то и М_R(п) - кольцо с единицей E, называемой единичной матрицей, у нее главная диагональ состоит из единиц кольца R, а остальные элементы - нули кольца R.

Для любой матрицы АМ_R(п) выполнено: АЕ=ЕА=А. При п>1 кольцо М_R(п) некоммутативное, даже если кольцо R коммутативное.

Для множества матриц М_R(п) определена операция  внешнего умножения, :RМ_R(п)М_R(п), где (r,(а_ij))=r(а_ij)=(rа_ij) для rR.

Матрицы А,ВМ_Р(п) называются взаимно обратными, если АВ=ВА=Е, при этом матрицу А называют обратной к матрице В (обозначается А=В^-1) и наоборот. Матрица А называется обратимой, если у неё имеется обратная матрица. Матрица АМ_Р(п) обратима  её определитель¹ не равен 0, такие матрицы называются невырожденными.

Следовательно, подмножество всех невырожденных матриц из М_Р(п) образует группу относительно умножения.