5. Кольца многочленов и формальных степенных рядов

Канонический многочлен или полином f(x) над кольцом R от одной переменной x - это выражение вида:

f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ,

где x - переменная, либо формальная, либо принимающая значения в кольце R, содержащем кольцо R; a₀,a₁,…,a_nR и элемент a_n0, т.е. a_n отличен от нуля кольца R. Элементы a₀,a₁,…,a_n называются коэффициентами многочлена f(x), в частности, a_n – старшим коэффициентом f(x), a₀ – свободным членом многочлена f(x). Натуральное число n называется степенью многочлена f(x) и обозначается degf(x).

Многочлен x^k называется одночленом или мономом степени k0, и a_k называется коэффициентом при мономе x^k в многочлене f(x).

Множество многочленов над кольцом R от одной переменной x (обозначим его R[x]) образует кольцо относительно следующих операций сложения и умножения. Если g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m, mn, то канонический вид суммы многочленов есть

f(x)+g(x)=(a₀+b₀)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²+…+(a_n+b_п)xⁿ,

где b_i=0 для i>m, и канонический вид произведения многочленов есть

f(x)g(x)=с₀+с₁x+с₂x²+…+с_m+пx^m+n,

где с_i = для всех i=0,1,…,m+n. В частности, для aR

af(x)=aa₀+aa₁x+…+aa_nxⁿ.

Отсюда выполнены свойства:

deg(f(x)+g(x))max{degf(x),degg(x)}, (1)

deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x). (2)

Нулем кольца R[x] является так называемый нулевой многочлен, у которого все коэффициенты – нули кольца R. Кольцо R[x] коммутативное  кольцо R коммутативное. Кольцо R[x] имеет единицу e(x)  кольцо R имеет единицу e, при этом e(x) есть многочлен, у которого свободный член равен e, а остальные коэффициенты равны нулю кольца R.

Положим для i=1,…,k. Тогда канонический действительный полином или многочлен f(x₁,…,x_k) над кольцом R от переменных x₁,…,x_k – это выражение вида:

f(x₁,…,x_k)= ,

где элементы кольца R - действительные числа, называемые коэффициентами многочлена f(x₁,…,x_k), и только конечное число коэффициентов отлично от нуля кольца R, в частности, a_0…0 – свободный член многочлена f(x₁,…,x_k). Многочлен называется одночленом или мономом степени r=i₁+…+i_k0, при этом называется коэффициентом при мономе в многочлене f(x₁,…,x_k).

Степенью многочлена f(x₁,…,x_k) (обозначается degf(x₁,…,x_k)) называется максимальная из степеней его мономов с ненулевыми коэффициентами. Данное определение корректно в силу конечного числа слагаемых в формуле.

Множество многочленов над кольцом R от переменных x₁,…,x_k (обозначим его R[x₁,…,x_k]) образует кольцо относительно операций сложения и умножения.

Если g(x₁,…,x_k)= , то канонический вид суммы многочленов есть

f(x₁,…,x_k)+g(x₁,…,x_k)= .

Канонический вид произведения многочленов можно вычислить так:

1. умножить с соответствующими коэффициентами каждый моном многочлена f(x₁,…,x_k) на каждый моном многочлена g(x₁,…,x_k), где

= ;

2. записать сумму всех получившихся мономов с коэффициентами и привести подобные мономы (т.е. сумму мономов вида a +b +… записать как (a+b+…) .

Степень суммы и произведения полиномов определена формулами (1.1) и (1.2).

Многочленом будем считать либо канонический многочлен, либо сумму и произведение многочленов, в частности, канонических. Любой многочлен можно привести к каноническому виду. Действительными многочленами называют многочлены над полем действительных чисел.