4. Решение гпз в третьем случае расположения го относительно плоскостей

проекций

В этом случае ни одна из проекций искомого общего элемента не дана, т.к. нет про­ецирующих ГО, нет основных проекций. .

Основным способом решения задач третьего случая является способ вспомогательных секущих поверхностей.

В качестве поверхностей посредников следует брать проецирующие поверхности. Решение ГПЗ третьего случая сводится к решению 2 ГПЗ второго случая, когда поверхности Δ - проецирующие, а заданные поверхности (Ф, ) - не проецирующие. Целесообразно, в качестве таких проецирующих поверхностей брать проецирующие плоскости.

Проецирующие поверхности Δ желательно выбирать так, чтобы проекции линии были бы графически простыми линиями - прямыми или окружностями, что может быть не всегда возможным.

Пример решения l-й гпз:

Имеются линия АВ и поверхность α.. Построить точку пересечения К, α; АВ [ .

1. Строим поверхность Δ, которой принадлежит АВ

[

2. Строим линию пересечения поверхностей а и Δ

[

3. Строим точку пересечения К, которая находится на пересечении т и АВ

[

Рис. 6.

Пример решения 2-й гпз

Имеются две поверхности Ф и .

Построить линию пересечения поверхностей: [ .

1. Строим проецирующую поверхность Δ¹, которая пересекает заданные Ф и : [Δ¹ .

2. Линией пересечения Δ¹ с поверхностью Ф является линия т, [ и также п – с поверхностью .

3. На пересечении линий т и п находится точка К - общая для поверхностей Ф и :

Затем решение повторяется для поверхности Δ² и Δ³ и т.д.

4.

5.

6.

Рис. 7.

Строим линию пересечения L поверхностей Ф и :

Сравнивая алгоритмы решения 1 ГПЗ и 2 ГПЗ в третьем случае, очевидно, что они, в принци­пе, одинаковы. Лишь последняя позиция алгоритма 2 ГПЗ не укладывается в алгоритме 1 ГПЗ, т.к. об­щим элементом двух пересекающихся ГО в 1 ГПЗ является точка, во 2 ГПЗ - линия.

Пример решения l-й гпз.

Плоскость а (А, В, С) и прямая g не перпен­дикулярны плоскостям проекций.

Построить точку пересечения прямой с плос­костью -

В качестве вспомогательной плоскости мож­но взять горизонтально - проецирующую или фрон­тально - проецирующую плоскость, проходящую че­рез g. В любом случае линия пересечения с плоско­стью α представляет собой прямую линию MN, которая совпадает на основной проекции с проецирующей плоскостью, другая проекция линии пересечения M₁N₁ определяется по при­надлежности к плоскости α.

Рис.8.

Алгоритм решения:

1.1. Строим фронтально - проецирующую плоскость основная проекция плоскости ­совпадает с фронтальной проекцией прямой .

2.1. Так как , то на пересечении основной проекции плоскости с заданной плоско­стью имеется проекция линии пересечения M₂N₂ плоскостей и .

.:

2.2. Вторая (горизонтальная) проекция линии M₁N₁ определяется по принадлежности точек М₁ и N₁ к не проецирующим прямым (A₁B₁) И (B₁C₁).

3.1. На пересечении M₁N₁ с g₁ получается точка пересечения K₁

.

Точка К₁ определяется по принадлежности прямой g₂;

Точка К является точкой пересечения прямой g с плоскостью α

Краткая запись алгоритма может быть такой:

1.1.

2.1.

2.2.

3.1.

Пример решения 2-й ГПЗ

Рис. 9.

Для того чтобы построить ли­нию пересечения двух поверхностей, следует использовать несколько горизонтальных плоскостей Δ. Плоскости Δ будут пересекать поверхности тора и шара по параллелям (линией пере­сечения тора будет q, шара - g).

[u φ j; u, ];

[m φ j; m, ]