- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 2.1.
Фірма спеціалізується на
виробництві офісних меблів, зокрема
вона випускає дві моделі збірних
книжкових полиць — А та В. Полиці
обох моделей обробляють на верстатах
1 та 2. Тривалість обробки (у хвилинах)
однієї полиці кожної моделі подано
таблицею.
Верстати |
Тривалість обробки полиці, хв, за моделями |
|
А |
В |
|
1 |
30 |
15 |
2 |
12 |
26 |
Час роботи верстатів 1 та 2 становить відповідно 40 та 36 год на тиждень. Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В — 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а попит на полиці моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.
Визначити обсяги виробництва книжкових полиць різних моделей, що максимізують прибуток фірми. Побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі та розв’язати її графічно.
Побудова математичної моделі. Змінними в моделі є тижневі обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В. Нехай х1 — кількість полиць моделі А, виготовлюваних фірмою за тиждень, а х2 — відповідна кількість полиць моделі В. Цільова функція моделі — максимізація прибутку фірми від реалізації продукції. Математично вона записується так:
Обмеження математичної моделі враховують час роботи верстатів 1 та 2 для обробки продукції та попит на полиці різних моделей.
Обмеження на час роботи верстатів 1 та 2 набирають такого вигляду:
для верстата 1
30х1 + 15х2 ≤ 2400 хв;
для верстата 2
12х1 + 26х2 ≤ 2160 хв.
Обмеження на попит набирають вигляду:
х1 – х2 ≤ 30 і х2 ≤ 80.
Отже, економіко-математичну модель поставленої задачі можна записати так:
Z = 50х1 + 30х2 max, (2.16)
|
(2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) |
Записана економіка-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні, і тому може бути розв’язана графічно.
Розв’язування. Перший крок згідно з графічним методом полягає в геометричному зображенні допустимих планів задачі, тобто в побудові такої області, де одночасно виконуються всі обмеження моделі. Замінюємо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і будуємо графіки відповідних прямих (рис. 2.9). Кожна з побудованих прямих поділяє площину системи координат на дві півплощини. Координати точок однієї задовольняють розглядувану нерівність, а іншої — не задовольняють. Щоб визначити необхідну півплощину (на рис. 2.9 її напрям позначено стрілкою), потрібно взяти будь-яку точку і перевірити, чи задовольняють її координати зазначене обмеження. Якщо задовольняють, то півплощина, в якій міститься вибрана точка, є геометричним зображенням нерівності. У протилежному разі таким зображенням є інша півплощина.
Рис. 2.9
Для цього побудуємо вектор , компонентами якого є коефіцієнти при змінних у цільовій функції задачі. Вектор завжди виходить із початку координат і напрямлений до точки з координатами (х1 = с1; х2 = с2). У нашій задачі век- тор . Він задає напрям збільшення значень цільо- вої функції Z, а вектор, протилежний йому, — напрям їх зменшення.
Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z = 0. Це буде пряма 50х1 + 30х2 = 0, яка перпендикулярна до вектора і проходить через початок координат. Оскільки маємо визначити найбільше значення цільової функції, пересуватимемо пряму 50х1 + 30х2 = 0 в напрямі вектора доти, доки не визначимо вершину многокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі.
Із рис. 2.9 бачимо, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та многокутника OABCDE, є точка С. Координати цієї точки визначають оптимальний план задачі, тобто обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В, що максимізують прибуток від їх реалізації.
Координати точки С визначаються перетином прямих (2.17) і (2.18):
Розв’язавши цю систему рівнянь, дістанемо х1 = 50; х2 = 60.
Отже, Х* = (50; 60); .
Це означає, що коли фірма щотижня виготовлятиме 50 збірних книжкових полиць моделі А та 60 — моделі В, то вона отримає максимальний прибуток 4300 у. о. При цьому тижневий фонд роботи верстатів 1 та 2 буде використано повністю.