6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач

Задача 6.37.

Нехай потрібно зробити запас з товарів у кількості , на які є випадковий попит . Нестача одиниці j-го товару карається штрафом с_j, тобто , а витрати на зберігання одиниці відповідної продукції, яку не вдалося збути, задаються вектором .

Розв’язування. Функція збитків, що відповідає розв’язку х, має вигляд:

.

Тут — штраф за не задоволення попиту щодо j-го виду продукції; — витрати на зберігання j-ї продукції. Для знаходження оптимального розв’язку цієї задачі необхідно знати функцію розподілу випадкової величини . Коли така функція розподілу невідома і знайти її неможливо, вважають, що випадкова величина розподілена рівномірно. При цьому необхідно пам’ятати, що саме таке припущення може призвести до неправильного прийняття рішення.

Задача 6.38.

Будь-які особи можуть тримати своє багатство у вигляді грошей та облігацій. Гроші — це актив, що використовується як засіб обігу, не приносячи процентів. Облігації — цінні папери, що дають певний процент. Логічно, здавалося б, що таким особам вигідно повинні зберігати своє багатство у вигляді облігацій. Проте це не так, оскільки процент і ринкова вартість облігацій наперед точно не відомі, тобто існує невизначеність.

Розв’язування. Нехай S — розмір активу, а x і y — розміри активів, які зберігаються відповідно у формі грошей та облігацій. Вважаємо, що через рік активи, вкладені в облігації, змінюються. За решти однакових умов облігацію, яка приносить більший процент прибутку на ринках цінних паперів, можна збути за більшу суму, ніж облігацію з меншим процентом. Позначимо та розміри активів, які реалізуються через рік на одиницю активів, збережених відповідно у формі грошей та вкладених в облігації. Значення , а є випадковою величи­ною. Економіко-математична модель найбільш пріоритетного розподілу активу на гроші та облігації полягає в максимізації сподіваної корисності:

за умов

,

.

Звідси випливає, що коли , то активи потрібно вкладати в облігації та навпаки. Отже, питання щодо розподілу активу між грішми та облігаціями повністю вирішується на користь одного з цих видів заощаджень. Якщо , то однаково, який спосіб заощадження буде використано.

Задача 6.39.

Відомо, що в комерційних банках нараховується більший процент на вкладені суми порівняно з ощадним, але повернення внеску не гарантується. Перед кожним вкладником постає дилема: мати меншу, але гарантовану суму, або більшу, проте з ризиком втрати внеску. З ризиком невикористаних можливостей пов’язаний внесок до ощадного банку.

Розв’язування. Нехай S — загальна сума грошових коштів певного власника; x — обсяг внеску до ощадного банку, y — до комерційного; a, b —процент нарахування відповідно в ощадному та комерційному банку; (1 – p) — імовірність ліквідації (банкрутства) комерційного банку. Джерелом невизначеності є повернення вкладу з комерційного банку.

За певного розподілу S на x і y можливі такі дві ситуації щодо отримання дивідендів:

— за умов успішного функціонування комерційного банку;

— у противному разі.

Економіко-математична модель набирає вигляду:

за умов

,

.