2. 2 Многофакторные модели

Можно выделить несколько факторов, оказы­вающих влияние на все сферы экономики.

1. Темпы прироста валового внутреннего продукта.

2. Уровень процентных ставок.

3. Уровень инфляции.

4. Уровень цен на нефть.

Двухфакторные модели

Двухфакторная модель для периода t

r_it = a_i + b_i1F_1t + b_i2F_2t + e_it,

где F_1t и F_2t – два фактора, оказывающих влияние на доходы по всем ценным бумагам, а b_i1 и b_i2 – чувствительности ценной бумаги i к этим двум факторам. Как и в случае однофакторной модели, e_it – случайная ошибка, a_i – ожидаемая доходность ценной бумаги i при условии, что каждый фактор имеет нулевое значение.

Рисунок иллюстрирует случай акций, на доходность которых влияют ожидания как темпов прироста ВВП, так и уровня инфляции. Каждая точка на рисунке соответствует определенному году. Однако на этот раз каждая точка определяется комбинацией доходности, уровня инфляции и темпов прироста ВВП в этом году. Россыпь точек совпадает с двухмерной плоскостью, полученной с помощью статистического метода множественной регрессии (multiple-regression analysis). Эта плоскость для любой ценной бумаги описывается уравнением, похожим на уравнение: rt = a + b1ВВПt + b2Иt + et, Наклон плоскости в направлении темпа прироста ВВП (b1) представляет чувствитель­ность акций к изменениям темпа прироста ВВП. Наклон плоскости в направле­нии уровня инфляции (b2) представляет чувствительность этих акций к изменениям уровня инфляции.

Смещение (нулевой фактор), равное на рисунке 5,8%, дает ожидаемую доход­ность для случая, когда и прирост ВВП, и инфляция равны нулю. Наконец, для конкретного года расстояние от фактической точки до плоскости равно специфичес­кой доходности в этом году (е.), т.е. той части доходности, которая не связана ни с приростом ВВП, ни с инфляцией.

В рамках двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра: a, b₁, b₂ и стандартное отклонение случайной ошибки, обозначаемое как _еi. Для каждого из_факторов нужно оценить два параметра — ожидаемое значение каждого фактора ( ₁ и ₂) и дисперсию фактора ( и ). Наконец, нужно оценить ковариацию факторов – cov(F₁, F₂).

Ожидаемая доходность ценной бумаги i может быть вычислена по следующей формуле:

_i = a_i + b_{i1 1} + b_{i2 2}

Дисперсия ценной бумаги i равна:

Ковариация ценных бумаг i и j определяется следующей формулой:

Все сказанное ранее относительно однофакторных моделей применимо и в случае ди­версификации.

Отраслевые факторные модели

Курсы ценных бумаг, относящихся к одной и той же отрасли экономики, часто меняются сходным образом в ответ на изменения перспектив этого сектора. Для этого случая применяют специальный тип многофакторной модели, известный как отраслевая факторная модель (sector-factor model). Чтобы постро­ить отраслевую факторную модель, следует каждую из рассматриваемых ценных бумаг отнести к некоторому сектору экономики. В случае двухсекторной факторной модели каждая ценная бумага должна быть отнесена к одному из двух секторов.

Например, пусть сектор 1 состоит из промышленных компаний, а сектор 2 – из не­промышленных компаний (коммунальное хозяйство, транспорт, финансовые компании). При этом можно считать, что F₁ и F₂ представляют доходности по индексам промышленных и непромышленных акций соответственно.

В двухсекторной факторной модели процесс формирования дохода по ценным бумагам имеет тот же общий вид, что и в двухфакторной модели. Чувствительность ценной бумаги к фактору того сектора, к которому эта ценная бумага не относится, принимается равной нулю, то есть либо b_i1 либо b_i2 равно нулю.

Для случая k факторов многофакторная модель может быть записана в следующем виде:

r_it = a_i + b_i1F_1t + b_i2F_2t +…+ b_ikF_kt + e_it,

где каждая ценная бумага характеризуется k чувствительностями, по одной на каждый из k факторов.

Это уравнение может содержать как факторы, так и сектор-факторы. Например, F₁ и F₂ могут обозначать ВВП и инфляцию, а F₃ и F₄ могут представлять доходности промышленных и непромышленных акций соответственно. Следовательно, акции каждого типа имели бы три чувствительности: b_i1, b_i2, b_i3 для промышленных и b_i1, b _i1 и b_i4 для непромышленных акций.