Приклад 2. Жорстко закріплений стержень під дією температурного навантаження

Особливий інтерес викликають задачі розрахунків статично невизначуваних систем при термосиловому навантаженні. Відзначимо, що в статично визначуваних стержньових конструкціях при нагріванні – охолодженні напруження не виникають, якщо матеріал однорідний.

У статично невизначуваних стержнях і стержньових системах навіть невеликі перепади температур приводять до появи помітних величин напружень.

Доповнимо вище розглянутий приклад розрахунком температурних напружень.

Будемо вважати, що стержень нагрітий (охолоджений) на С. (рис.2.1б)

1.ССЗ. Показуємо опорні реакції і . Записуємо єдину умову рівноваги, яку можна скласти для даної задачі

(2.4)

Реакції і , що виникають у защемленнях, рівні між собою та спрямовані в протилежні сторони.

Рис. 2.1б. Розрахункова схема до прикладу 2

2.ГСЗ. Повне подовження стержня складеться з суми подовжень: вільного температурного розширення (укорочення) стержня ( – коефіцієнт лінійного температурного розширення) та подовження (укорочення) від реакції (див. рис. 2.1б), тобто

, або .

Тоді одержуємо – і значення поздовжньої сили на всіх ділянках стержня постійно:

,

що говорить про викликане нагріванням ( ) стискання стержня.

У цьому випадку температурні напруження у перерізі стержня , і, як видно, не залежать від площі поперечного перерізу.

Приклад 3. Жорстко закріплений стержень під дією недосконалості виготовлення (монтажний фактор)

Аналогічно розглядається задача визначення і монтажних напружень, викликаних наявністю монтажної недосконалості ( – зазор, перевищення на величину довжини стержня в порівнянні з відстанню між опорами) (рис. 2.1в).

Рис. 2.1в. Розрахункова схема до прикладу 3

1.ССЗ. Показуємо опорні реакції і . Записуємо єдину умову рівноваги, яку можна скласти для даної задачі

(2.5)

Реакції і , що виникають у защемленнях, рівні між собою та спрямовані в протилежні сторони.

2.ГСЗ. Повне подовження стержня складеться з суми подовжень: недосконалості та подовження («укорочення») від реакції (див. рис.2.1в), тобто

, або .

Тоді одержуємо – і значення поздовжньої сили на всіх ділянках стержня постійно:

,

що говорить про викликане недосконалістю стискання стержня.

У цьому випадку монтажні напруження у перерізі стержня , і, як видно, не залежать від площі поперечного перерізу.

Приклад 4. Розрахунок стержньової системи при силовому навантаженні

Стержньова система (рис. 2.2) складається з абсолютно твердого тіла , шарнірно закріпленого у точці та підтримується стержнями 1 і 2 (довжини яких та , площі поперечних перерізів , , модулі пружності матеріалу , ), система навантажена зовнішньою зосередженою силою , власною вагою нехтуємо. Необхідно визначити внутрішні зусилля (виразити поздовжні сили в стержнях і через зовнішнє навантаження ).

Рис.2.2. Розрахункова схема до прикладу 4

1. ССЗ. Прикладаємо реакції опори , , та _..Застосовуємо метод перерізів до стержнів 1 та 2. При цьому внутрішні поздовжні сили і , що виникають у стержнях дорівнюють реакціям опор та .

Складаємо рівняння статичної рівноваги ( для плоскої системи сил) через реактивні зусилля:

(2.6)

(2.7)

. (2.8)

2. ГСЗ. Під дією зовнішнього навантаження стержень 2 розтягається, стержень 1 стискається, а брус займе нове положення (рис. 2.3). Відповідно точки и займуть положення і . Покажемо змінення довжин стержнів.

Рис.2.3. Деформована схема

Абсолютне значення укорочення стержня 1 – .

Щоб знайти подовження похилого стержня 2, потрібно провести дугу довжиною .

Через малість деформацій стержнів у порівнянні з розмірами стержневої системи переміщення точок С, D, K при повороті абсолютно твердого тіла вважаємо такими, що відбуваються не по дузі, а по дотичній до неї, по нормалі до первісного положення твердого тіла.

Подовження стержня 2 буде приблизно дорівнювати , тобто .

З подоби трикутників і маємо:

.

З огляду на те, що , , , , одержуємо:

,

або рівняння спільності переміщень одержуємо у вигляді:

. (2.9)

3. ФСЗ. З огляду на те, що зміна довжини стержнів визначається рівняннями:

 , , (2.10)

то умова (2.9) прийме вигляд: .

Після перетворень одержимо:

. (2.11)

4. Аналіз. Вирішуючи спільно рівняння (2.11) і (2.8), одержимо:

(2.12)

Поздовжня сила визначається з рівняння (2.11).

Відзначимо особливості стержньових статично невизначених систем. Переваги цих систем полягають у автоматичному перерозподілі зусиль між стержнями. До недоліків відноситься їх висока чутливість до неточності виготовлення та зміни температури.