- •Мiнiстерство освiти і науки україни національний технічний університет
- •На міцність стержнів при центральному розтяганні – стисканні”
- •Позначення і розмірності
- •1Центральне розтягання та стискання прямолінійного стержня
- •1.1Внутрішня поздовжня сила
- •1.2Побудова епюри внутрішньої поздовжньої сили
- •1.3Напруження при центральному розтяганні – стисканні
- •1.4Види розрахунків по допустимому напруженню
- •1.4.1Перевірочний розрахунок
- •1.4.2Проектувальний розрахунок (підбор площі поперечного перерізу)
- •1.4.3Визначення максимально допустимого зовнішнього навантаження
- •1.5Нормальні та дотичні напруження на похилих площадках
- •1.6Деформації та переміщення при розтяганні – стисканні. Закон Гука. Модуль пружності. Коефіцієнт Пуассона
- •1.7Потенційна енергія пружної деформації при розтяганні – стисканні
- •2Статично невизначувані системи при розтяганні – стисканні
- •Приклад 1. Жорстко закріплений стержень під дією зосередженої сили
- •Приклад 2. Жорстко закріплений стержень під дією температурного навантаження
- •Приклад 3. Жорстко закріплений стержень під дією недосконалості виготовлення (монтажний фактор)
- •Приклад 4. Розрахунок стержньової системи при силовому навантаженні
- •Приклад 5. Монтажні напруження в стержньовій системі
- •Приклад 6. Визначення температурних напружень в стержньовій системі
- •3Розрахунково – проектувальне завдання
- •3.1Склад розрахунково – проектувального завдання
- •3.2Порядок виконання завдання
- •3.3Розрахункові схеми та чисельні дані
- •Задача 1. Статично визначуваний стержень
- •Вхідні дані до задачі 1
- •Задача 2. Статично визначувана стержньова система
- •Вхідні дані до задачі 2
- •Задача 3. Статично невизначуваний стержень
- •Вхідні дані до задачі 3
- •Задача 4. Статично невизначувана стержньова система
- •Вхідні дані до задачі 4
- •Зовнішнє навантаження: .
- •Механічні характеристики сталей та сплавів
- •3.4Приклади розв’язання задач Зразок виконання задачі 1
- •Зразок виконання задачі 2
- •Зразок виконання задачі 3
- •2. Урахування недосконалості виготовлення
- •3. Урахування температурного навантаження
- •4. Визначення сумарних напружень
- •Зразок виконання задачі 4
- •1. Урахування зосереджених сил. Визначення напружень в стержнях від зовнішнього навантаження
- •2. Урахування недосконалості виготовлення першого стержня
- •3. Урахування температурних навантажень
- •4. Визначення сумарних напружень
- •Література
- •Контрольні питання
- •1 Центральне розтягання та стискання прямолінійного стержня 5
- •2 Статично невизначувані системи при розтяганні – стисканні 18
- •3 Розрахунково – проектувальне завдання 30
1.4Види розрахунків по допустимому напруженню
Покажемо основні види розрахунків, які виконуються з використанням умови міцності (1.3) (розрахунки по допустимому напруженню).
1.4.1Перевірочний розрахунок
Основна мета перевірочного розрахунку полягає в зіставленні максимальних розрахункових та допустимого напруження. У цьому розрахунку відомою вважається вся вхідна інформація про стержень, що включає три групи даних:
про зовнішні сили: значення навантажень та координати точок на осі бруса, де прикладенні ці навантаження,
про геометричні розміри стержня: площа поперечного перерізу – А,
про механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження – .
За формулою (1.2) обчислюємо максимальні напруження та порівнюємо з допустимим . Якщо – міцність стержня забезпечена (допускається відхилення до 5% в бік перебільшення у значенні над ). При стержень вважається недовантаженим, що приводить до перевитрати матеріалу. У випадку, – стержень перевантажений, що приводить до необхідності переглянути вихідну розрахункову схему чи вибрати інший матеріал.
1.4.2Проектувальний розрахунок (підбор площі поперечного перерізу)
Основна мета цього розрахунку полягає у визначені безпечних у змісті міцності розмірів перерізу стержня, що допускаються. Проектувальний розрахунок проводиться за допомогою умови міцності (1.3).
Відомими вважаються:
зовнішні сили: значення навантажень і координати точок на осі бруса, де прикладенні ці навантаження,
механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження – .
Після побудови епюри внутрішніх поздовжніх сил, обирається переріз з максимальним значенням .
З умови міцності (1.3) площу небезпечного поперечного перерізу обчислюємо за формулою:
.
Це значення площі поперечного перерізу стержня А є мінімальною оцінкою для вибору необхідної площі.
1.4.3Визначення максимально допустимого зовнішнього навантаження
Основна мета цього розрахунку полягає у визначені безпечного у змісті міцності зовнішнього навантаження стержня, що допускається. Розрахунок проводиться за допомогою умови міцності (1.3).
Відомими вважаються:
геометричні розміри стержня: площа поперечного перерізу – А,
механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження – .
Визначається внутрішня поздовжня сила через зовнішнє навантаження.
З умови міцності (1.3) візначається , з якої далі знаходиться навантаження, що допускається.
1.5Нормальні та дотичні напруження на похилих площадках
Розглянемо стержень з поперечним перерізом , навантажений силою . У нормальному (перпендикулярному осі Z) перерізі виникають нормальні напруження , що визначаються як . А які напруження виникають на площадці , нахиленої до осі стержня під кутом ? Положення площадки визначається положенням її нормалі (рис.1.4а). Так як зовнішнє навантаження збігається з віссю стержня, то і на будь-якій похилій площадці внутрішні зусилля (повні напруження) збігаються з віссю стержня, у даному випадку повне напруження , що визначається як (рис.1.4б).
Площа похилого перерізу , тоді . Але , а повне напруження . Так як , то завжди . Розкладемо повне напруження на дві складові: нормальну та дотичну до площадки (рис.1.4в). Одержимо нормальне і дотичне напруження на похилій площадці. Нормальне напруження на похилій площадці з нормаллю :
(1.5)
Дотичне напруження на похилій площадці з нормаллю :
(1.6)
Нормальне напруження позитивне (викликає деформацію розтягання), дотичне теж позитивне, тому що обертає розглянуту область щодо будь-якої точки у середині цієї області за годинниковою стрілкою. Визначимо напруження на взаємно перпендикулярній площадці , нахиленої до осі стержня під кутом , що дорівнює (рис. 1.4г). Якщо , то, мабуть, і . Якщо підставити і з огляду на те, що , одержимо:
(1.7)
Рис. 1.4. Напруження на похилих площадках
Аналогічно . Підставивши , та з огляду на те, що , одержимо:
. (1.8)
Нормальне напруження також позитивне, а дотичне – негативне (обертає розглянуту область щодо будь-якої точки у середині цієї області проти годинникової стрілки). Склавши вирази (1.5) і (1.7), одержимо . Тобто, сума нормальних напружень на двох взаємно перпендикулярних площадках постійна. Порівнюючи (1.6) і (1.8), маємо . Ця рівність відбиває закон парності дотичних напружень: дотичні напруження на двох взаємно перпендикулярних площадках рівні по величині та протилежні по напрямку (знаку). Якщо відоме дотичне напруження на одній площадці, то на інших площадках дотичні напруження визначаються за вищевказаним законом парності (рис. 1.4г). Аналізуючи вирази (1.5) та (1.7) слід зазначити, що максимальних значень нормальні напруження досягнуть в поперечних перерізах ( ) та дорівнюють .