§4. Мішаний добуток трьох векторів

1. Означення та геометричний зміст мішаного добутку. Мішаним добутком трьох векторів , , називається скаляр .

Покажемо, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , як на ребрах. Позначимо через об’єм цього паралелепіпеда. З означення скалярного добутку двох векторів маємо

(6)

У випадку правої трійки векторів , ,

.

П ідставивши в (6), дістаємо

.

Якщо ж трійка , , ліва, то

і у цьому випадку

.

Остаточно,

.

2. Властивості мішаного добутку. Покажемо, що для мішаного добутку справджуються такі властивості.

1⁰. Знаки скалярного та векторного множення можна переставити місцями:

.

Справді, якщо трійка векторів , , права, то трійка , , також права, тому

.

У випадку лівої трійки , , трійка , , також ліва, тому

.

Доведена властивість дає підставу позначати мішаний добуток через .

2⁰. .

3⁰. Скалярний множник можна виносити за знак мішаного добутку:

.

Справді,

.

4⁰. .

Справді,

.

5⁰. Якщо , , , то мішаний добуток можна обчислювати за формулою:

.

Справді,

.

Тоді скалярний добуток можна обчислювати як суму добутків однойменних координат співмножників, тобто

.

Властивість доведено.

6⁰. Три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.

Нехай три вектори , , компланарні. Тоді об’єм “паралелепіпеда”, побудованого на цих векторах, дорівнює нулеві очевидним чином, . Але ця рівність рівносильна рівності .

Навпаки, якщо , то , що можливо лише для компланарних векторів.