Розділ 6. Лінійні простори.

§ 1. Основні поняття.

1. Означення лінійного простору. Кажуть, що в множині деяких елементів визначено операцію додавання, якщо кожній парі , елементів множини поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається сумою елементів , і позначається . Точно так само, в множині визначено операцію множення елементів на числа, якщо кожному елементові множини і будь-якому числу поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається добутком елемента на число і позначається . Наголосимо, що так визначені операції додавання елементів та множення елемента на число не виводять за межі множини , або, що те саме, множина замкнена відносно цих операцій.

Множина деяких елементів називається лінійним простором, якщо в ній визначено операції додавання елементів та множення елемента на число і для цих операцій справджуються аксіоми:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Елементи лінійного простору називаються векторами.

Лінійний простір називається дійсним лінійним простором, якщо числові множники належать полю дійсних чисел . Якщо ж скалярні множники належать полю комплексних чисел , то простір називається комплексним. Надалі, якщо не обумовлено супротивне, розглядаються комплексні лінійні простори.

2. Приклади лінійних просторів. У попередніх розділах було розглянуто два приклади дійсних лінійних просторів.

1). Множина векторів тривимірного простору разом з визначеними в ній операціями додавання векторів і множення вектора на число.

2). Множина – матриць разом з визначеними в ній операціями додавання матриць та множення матриці на число.

Наведемо ще кілька прикладів.

3). Множина функцій, визначених і неперервних на проміжку , разом зі звичайними операціями додавання функцій та множення функції на дійсне число, утворює дійсний лінійний простір. Справді, з математичного аналізу відомо, що сума двох неперервних функцій є неперервною функцією, так само як і добуток неперервної функції на число. Оскільки додавання функцій та множення функції на число зводяться до тих самих операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 лінійного простору справджуються очевидним чином, то вони справджуються і для неперервних на проміжку функцій.

4). В множині всеможливих систем дійсних чисел визначимо операції додавання та множення на число за такими правилами:

а) сумою елементів , будемо називати елемент ;

в) добутком елемента на число назвемо елемент .

Зрозуміло, що так визначені лінійні операції не виводять за межі множини . Оскільки лінійні операції виконуються покомпонентно, то вони зводяться до операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 справджуються. Отже, аксіоми лінійного простору справджуються і для елементів множини .

Зазначимо, що лінійний простір іноді називають арифметичним лінійним простором і цей простір в лінійній алгебрі є чи не найважливішим прикладом лінійного простру.

Точно так само сукупність впорядкованих систем комплексних чисел утворює комплексний лінійний простір.

5). Перевірити як вправу, що сукупність многочленів, степінь яких не перевищує , разом зі звичайними операціями додавання многочленів та множення многочлена на число, утворює лінійних простір.

3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Вектори лінійного простру називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких принаймні одне не дорівнює нулеві, що ; якщо ця рівність можлива лише при , то вектори називаються лінійно незалежними.

Очевидно, що якщо в систему векторів входить нульовий вектор, то ця система лінійно залежна.

Якщо вектор можна подати у вигляді , то кажуть, що вектор розкладено за векторами , або що вектор є лінійною комбінацією векторів .

Теорема про лінійну залежність векторів. Ненульові вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоч би один з них є лінійною комбінацією решти.

Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді існують числа , серед яких є принаймні одне ненульове, що

. (1)

Нехай . Тоді з (1) дістаємо

,

тобто вектор є лінійною комбінацією решти векторів заданої системи.

Навпаки, нехай є лінійною комбінацією векторів :

.

Звідси,

,

що й означає, що система векторів лінійно залежна.

4. Вимірність лінійного простору. У розділі “Векторна алгебра” було доведено, що на прямій будь-які два вектори лінійно залежні; на площині можна знайти два лінійно незалежні вектори, а будь-які три вектори лінійно залежні; в просторі існують трійки лінійно незалежних векторів, але будь-які чотири вектори лінійно залежні. Таким чином, максимальне число лінійно незалежних векторів на прямій, площині чи в просторі збігається з геометричним поняттям вимірності прямої, площини чи простору. Це спостереження покладено в основу означення вимірності будь-якого лінійного простору.

Означення. Лінійний простір називається – вимірним, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з більшого числа векторів лінійно залежна.

Той факт, що лінійний простір є – вимірним, відзначають записом . При знаходженні вимірності простору мало знайти систему лінійно незалежних векторів, – треба ще показати, що в цьому просторі не існує ширшої системи лінійно незалежних векторів. Для цього часто використовується така лема.

Лема про лінійні комбінації. Нехай – деяка система векторів лінійного простору і нехай кожний з лінійно незалежних векторів є лінійною комбінацією векторів . Тоді .

Доведення. Доведемо лему методом математичної індукції. При лема очевидна. Припустимо, що лема справджується для векторів і доведемо, що вона справджується для векторів .

Згідно з умовою леми лінійно незалежні вектори можна подати як лінійні комбінації векторів :

(2)

Якщо всі коефіцієнти при дорівнюють нулеві, то, за припущенням індукції, . Тим більше і лему в цьому випадку доведено.

Нехай тепер хоч би один з коефіцієнтів при в рівностях (2) не дорівнює нулеві, наприклад, . Тоді з останньої рівності

.

Підставимо значення в решта рівностей (2) і зведемо подібні члени:

(3)

Якщо довести, що вектори лінійно незалежні, то за припущенням індукції , або , і лему буде доведено.

Покажемо, що вектори лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай існують такі числа , серед яких є принаймні одне ненульове, що

,

або,

.

Звідси,

.

За умовою леми вектори лінійно незалежні, тому всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації є нулями, зокрема, . З отриманої суперечності робимо висновок, що вектори лінійно незалежні. Лему повністю доведено.

Суть леми про лінійні комбінації полягає в тому, що за заданими векторами з допомогою лінійних операцій можна отримати не більше, ніж лінійно незалежних векторів.

Лема про лінійні комбінації є узагальненням наслідків з теорем 2, 4, 6 розділу “Векторна алгебра” для багатовимірних просторів.

Вправа. Показати, що якщо вектори лінійно залежні, то .

Наслідок. Якщо кожний вектор лінійного простору можна подати як лінійну комбінацію деяких лінійно незалежних векторів , то .

Справді, нехай будь-який вектор лінійного простору можна подати у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежних векторів . Тоді, за лемою про лінійні комбінації, для будь-якої системи лінійно незалежних векторів ,

цього простору . Іншими словами, в не існує ширшої системи лінійно незалежних векторів, тому .

5. Базис лінійного простору. Будь-яка сукупність лінійно незалежних векторів –вимірного лінійного простору називається базисом цього простору.

За означенням – вимірного лінійного простору, в ньому існує лінійно незалежних векторів, тобто існує базис.

Теорема про доповнення до базису. Будь-яку систему лінійно незалежних векторів – вимірного лінійного простору , , можна доповнити до базису цього простору.

Доведення. Серед векторів простору є принаймні один вектор , який не можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів . Якби це було не так, то за наслідком з леми про лінійні комбінації , тоді як . Долучимо вектор до системи . Отримана система , лінійно незалежна за теоремою про лінійну залежність. Якщо , то у просторі існує вектор , який не є лінійною комбінацією векторів , з тої самої причини. Долучимо вектор до системи , . Цей процес продовжуємо доти, поки не прийдемо до лінійно незалежних векторів, тобто до базису. В отриманий базис входить система векторів . Теорему повністю доведено.

Теорема існування та єдиності розкладу вектора. Будь-який вектор лінійного простору можна єдиним чином розкласти за векторами базису цього простору.

Доведення. Нехай вектори утворюють базис – вимірного лінійного простору і нехай – довільний вектор цього простору. Система складається з вектора, тому, за означенням – вимірного лінійного простору, ця система лінійно залежна:

. (4)

Якби , то рівність (4) означала б, що вектори базису лінійно залежні, що неможливо, тому і з рівності (4) маємо

,

тобто розклад вектора за векторами базису існує.

Покажемо, що цей розклад єдиний. Припустимо, що вектор має два розклади – та . Віднімемо від першої рівності другу:

.

Оскільки вектори базису лінійно незалежні, то остання рівність можлива лише при . Звідси, і єдиність розкладу доведено.

Теорема існування та єдиності розкладу вектора є підставою для такого означення рівності двох векторів: два вектори лінійного простору рівні, якщо їх розклади в деякому базисі збігаються.

6. Координати вектора. Якщо вектори утворюють базис – вимірного лінійного простору і який-небудь вектор цього простору розкладено за векторами базису,

,

то коефіцієнти цього розкладу називаються координатами вектора в базисі .

З теореми існування та єдиності розкладу вектора негайно дістаємо, що в заданому базисі кожен вектор лінійного простору має однозначно визначені координати.

Нехай два вектори лінійного простору розкладено за векторами базису :

.

З аксіом 1 – 8 лінійного простору дістаємо, що сума цих векторів має розклад

,

а для довільного числа вектор має такий розклад:

.

Іншими словами, при додаванні векторів їх координати додаються, а при множенні вектора на число його координати множаться на це число.

Зазначимо, що нульовий вектор, і лише він, має всі нульові координати у будь-якому базисі.

За теоремою існування і єдиності розкладу вектора, між векторами лінійного простору і наборами координат цих векторів у деякому базисі існує взаємно однозначна відповідність, тому вектор можна ототожнити з набором його координат. Звідси, два вектори рівні, якщо рівні їх відповідні координати.

7. Приклади базисів деяких лінійних просторів. 1. Для сукупності векторів тривимірного простору означення базису та координат вектора збігаються з відповідними означеннями, поданими у розділі “Векторна алгебра”.

2. Покажемо, що в арифметичному лінійному просторі вектори

лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай для деяких чисел

.

Ця рівність рівносильна такій рівності

,

або такій

,

звідки , тобто вектори лінійно незалежні.

Будь-який вектор можна подати у вигляді

, (5)

тобто подати як лінійну комбінацію лінійно незалежних векторів . Звідси, за наслідком з леми про лінійні комбінації, простір є – вимірним, а тому система векторів утворює базис цього простору.

Зазначимо, що рівність (5) дозволяє трактувати компоненти вектора як координати цього вектора в базисі .

Вправа. Довести, що система векторів

також утворює базис арифметичного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

3. Такими самими міркуваннями, як і в попередньому прикладі, легко показати, що в лінійному просторі – матриць матриці

лінійно незалежні, а будь-яку – матрицю можна подати у вигляді лінійної комбінації матриць :

.

Звідси, за наслідком з леми про лінійні комбінації, множина – матриць утворює –вимірний лінійний простір, а матриці утворюють базис цього простору. При цьому елементи матриці можна розглядати як її координати в цьому базисі.

4. Покажемо, що функції , для будь-якого натурального лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай існують такі числа , що

,

або

. (6)

Згідно з основною теоремою алгебри рівняння – го степеня (6) має щонайбільше різних коренів, тобто існує найбільше таких значень невідомої , що

, ,

а для будь-якого іншого значення , , ,

.

Звідси, рівність (6) може справджуватись лише при умові, що , а це означає, що функції лінійно незалежні.

Будь-який многочлен, степінь якого не перевищує , можна записати у вигляді

,

де – деякі числа, тобто будь-який многочлен , степінь якого не перевищує , можна подати як лінійну комбінацію функцій :

.

За наслідком з леми про лінійні комбінації сукупність многочленів, степінь яких не перевищує , є – вимірним лінійним простором, функції утворюють базис цього простору, а коефіцієнти многочлена є координатами цього многочлена у вказаному базисі.

5. Нехай – довільне натуральне число. У попередньому прикладі було показано, що функції лінійно незалежні, до того ж кожна з них є неперервною функцією. Звідси, завдяки тому, що довільне, в просторі неперервних функцій існує будь-яке число лінійно незалежних функцій, а це означає, що простір неперервних функцій нескінченновимірний. Нескінченновимірний простір не має базису, бо подане у п.5 означення базису не можна застосувати до нескінченновимірних просторів.

Зауважимо насамкінець, що іноді вектори лінійного простору зручно і корисно уявляти як напрямлені відрізки в цьому просторі. В такому разі всі вектори лінійного простору “паралельним” перенесенням можна звести до спільного початку, який будемо називати початком координат.(цей абзац переробити в окремий приклад векторно-афінного простору)

8. Зв’язок між базисами. Нехай – базис, а – довільна система векторів – вимірного лінійного простору . Кожний вектор , , можна розкласти за векторами базису :

. (7)

Систему рівностей (7) можна стисло записати в матричній формі

, (8)

де

, , .

Таким чином, задана система векторів однозначно визначає квадратну матрицю – го порядку , таку, що , де – вибраний базис лінійного простору . Навпаки, будь-яка квадратна матриця – го порядку однозначно визначає векторів за допомогою рівності (8). В цьому зв’язку виникає таке запитання. Які умови повинна задовольняти матриця , щоб система векторів , отримана за допомогою рівності (8), також утворювала базис простору ?

Теорема про зв’язок між базисами. Нехай – базис – вимірного лінійного простору і нехай

, (9)

де . Система векторів буде базисом простору тоді і лише тоді, коли матриця невироджена.

Доведення. Нехай система векторів утворює базис лінійного простору . Тоді кожний вектор базису можна розкласти за векторами базису ,

, .

Підставивши в цю рівність замість його значення з (9), отримаємо

,

або

.

Отримана матрична рівність визначає нульових лінійних комбінацій векторів базису , тому всі коефіцієнти кожної лінійної комбінації дорівнюють нулеві, тобто

,

або

.

Звідси, за теоремою про детермінант добутку матриць, , тобто , отже, матриця невироджена.

Покажемо тепер, що якщо матриця невироджена, то система векторів лінійно незалежна. Припустимо супротивне і нехай існує система чисел , серед яких хоч би одне не дорівнює нулеві, що . Звідси, за (9),

,

або

.

Переставивши місцями знаки суми, отримаємо

.

З лінійної незалежності векторів випливає, що всі коефіцієнти лінійної комбінації в лівій частині останньої рівності мають дорівнювати нулеві,

, ,

або, в розгорненому вигляді,

. (10)

Матриця системи (10) збігається з матрицею , тому, за умовою теореми, визначник цієї системи не дорівнює нулеві, . За правилом Крамера, система (10) має єдиний нульовий розв’язок . Це означає, що вектори лінійно незалежні і тому в –вимірному лінійному просторі утворюють базис. Теорему доведено.

Про рівність , , кажуть, що матриця визначає перехід від базису до базису , або, що матриця визначає перетворення базису в базис .

9. Зв’язок між координатами вектора у різних базисах. Насамперед домовимося надалі позначати матрицю-стовпчик одною літерою, наприклад,

.

Тоді матрицю-рядок логічно позначати літерою зі знаком транспонування, наприклад, .

Нехай в – вимірному лінійному просторі задано два базиси та і нехай

, . (11)

Кожний вектор можна розкласти як за векторами базису , так і за векторами базису ,

,

або, в матричній формі,

, (12)

де , , , . Звідси, враховуючи (11),

,

або

.

Оскільки вектори базису лінійно незалежні, то

,

або

.

Транспонуючи обидві частини, остаточно маємо

.

Таким чином, координати вектора в нештрихованому базисі визначаються лінійно через координати того самого вектора у штрихованому базисі за допомогою матриці, транспонованої до матриці, з допомогою якої вектори штрихованого базису визначаються через вектори нештрихованого базису.