Розділ 2. Векторна алгебра

§ 1. Дії над векторами

1.Основні поняття. Вектором називається впорядкована пара точок, тобто напрямлений відрізок. Якщо точка – початок, а точка – кінець вектора, то вектор позначається символом . Вектор часто позначають одною малою літерою, наприклад, .

Відстань між початком і кінцем вектора називається модулем, або довжиною вектора і позначається символом , або .

Два вектори називаються колінеарними, якщо існує пряма до якої вони паралельні. Колінеарність векторів та позначається записом .

Три вектори називаються компланарними, якщо існує площина до якої вони паралельні.

Якщо кінець вектора збігається з його початком, то такий вектор називається нульовим і позначається символом . Нуль-вектор – єдиний вектор, який не визначає жодного напряму.

Два вектори називаються рівними, якщо вони рівні за довжиною, колінеарні й однаково напрямлені. Звідси випливає, що в математиці точка прикладання вектора не відіграє істотної ролі і вектор можна переносити паралельно до самого себе.

2. Лінійні операції над векторами. Сумою двох векторів та називається вектор, який збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах та як на сторонах. Сума векторів та позначається .

Подане означення суми двох векторів має назву правила паралелограма.

З означення суми двох векторів випливає, що якщо початок вектора сумістити з кінцем вектора , то початок вектора збігається з початком вектора , а кінець – з кінцем вектора . Це правило називається правилом трикутника.

Правило трикутника особливо зручне при сумуванні великого числа векторів.

Добутком вектора на скаляр (число) називається вектор , який визначається такими умовами:

1. ;

2. , до того ж при співнапрямлений з , а при протилежно напрямлений до .

Добуток вектора на скаляр позначається .

Вектор називається протилежним до вектора і позначається .

Різницею двох векторів та називається вектор і позначається . Легко переконатися, що різиця двох векторів є вектором з початком у кінці вектора-від”ємника та кінцем у кінці вектора-зменшуваного. Справді, з рисунка, , тобто .

Зазначимо, що операція додавання векторів та операція множення вектора на скаляр разом називаються лінійними операціями над векторами.

3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Кажуть, що вектор , де – деякі числа, є лінійною комбінацією векторів , або що вектор розкладено за векторами . Числа , називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких є хоч би одне ненульове, що їх лінійна комбінація є нульовою, тобто ; якщо ж рівність можлива лише при умові, що , то вектори називаються лінійно незалежними.

Очевидно, що будь-яка система векторів, якій належить нульовий вектор, лінійно залежна.

4. Лінійна залежність та колінеарність. Виявляється, що поняття лінійної залежності двох векторів збігається з поняттям колінеарності цих векторів.

Теорема 1. Два ненульові вектори та колінеарні тоді і лише тоді, коли існує таке ненульове число , що .

Доведення.Нехай для пари ненульових векторів та існує таке ненульове число , що . З означення добутку вектора на скаляр , або, що те саме, .

Навпаки, нехай . Перенесемо вектор паралельно до самого себе так, щоб його початок збігався з початком вектора . Тоді вектори та мають спільний початок і лежать на одній прямій. Якщо вектори та співнапрямлені, то при ; якщо ж вектори та протилежно напрямлені, то при .

Теорема 2. Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

Доведення. Справді, нехай . Тоді, за теоремою 1, існує таке ненульове число , що . Звідси, , що й означає, що вектори , лінійно залежні.

Навпаки, нехай вектори , лінійно залежні, тобто існують такі числа , , що , причому хоч би одне з них, наприклад , ненульове. Тоді . Звідси, за теоремою 1, .

Наслідок. На прямій можна знайти не більше, ніж один лінійно незалежний вектор.

5. Лінійна залежність та компланарність. Покажемо, що поняття лінійної залежності для трьох векторів збігається з поняттям компланарності цієї трійки векторів.

Теорема 3. Якщо ненульові вектори , неколінеарні, то будь-який компланарний з ними вектор можна єдиним чином розкласти за векторами , .

Доведення. Покажемо спочатку, що розклад вектора за векторами , існує. Для цього трійку компланарних векторів , , зведемо до спільного початку – точки . Тоді всі три вектори , , лежать в одній площині. З рисунка, . За теоремою 1, , , тому і існування розкладу встановлено.

Доведемо єдиність розкладу. Припустимо, що існує два розклади

.

Звідси,

.

Оскільки не колінеарний до , то за теоремою 2, вектори , лінійно незалежні. На підставі означення лінійно незалеж– них векторів , тобто , , а це означає, що обидва розклади збігаються.

Теорема 4. Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.

Доведення.Справді, нехай вектори , , лінійно залежні, тобто

і нехай . Тоді останню рівність можна переписати так

.

Вектор є сумою двох векторів і , тому, за означенням суми, збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах, тобто лежить в площині цього паралелограма, а це означає, що вектори , , компланарні.

Навпаки, нехай тепер вектори , , компланарні. Припустимо додатково, що серед них є хоч би одна пара неколінеарних векторів, наприклад, вектори та неколінеарні. Тоді, за теоремою 3, вектор можна розкласти за векторами , :

.

Звідси,

,

тобто вектори , , лінійно залежні.

Якщо ж серед трійки векторів , , нема пари неколінеарних, то . Тоді, за теоремою 1, і звідси,

,

тобто вектори , , і в цьому випадку лінійно залежні.

Наслідок. На площині можна знайти не більше, ніж два лінійно незалежних вектори.

6. Лінійна залежність чотирьох векторів. Покажемо, що у просторі існує щонайбільше три лінійно незалежні вектори.

Теорема 5. Якщо вектори , , некомпланарні, то будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за векторами , , .

Доведення.Зведемо вектори , , , до спільного початку – точки . Через кінець вектора - точку – проведемо пряму, паралельну до вектора , яка перетинає в точці площину, що визначається парою неколінеарних векторів , . Тоді, очевидно, ‌‌‌‌‌. З рисунка,

.

За теоремою 3, , а за теоремою 1, , тому

і існування розкладу встановлено.

Єдиність розкладу доведемо від супротивного. Нехай існує два розклади .

Звідси,

.

За умовою теореми, вектори , , некомпланарні, тобто, за теоремою 4, лінійно незалежні, тому , або , , і єдиність доведено.

Теорема 6. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Доведення.Справді, нехай задано четвірку довільних векторів , , , . Припустимо спочатку, що серед них є трійка некомпланарних векторів, наприклад, трійка , , . Тоді, за теоремою 5, вектор можна розкласти за векторами , , :

.

Звідси,

,

тобто вектори , , , лінійно залежні.

Нехай тепер серед четвірки векторів , , , нема жодної трійки некомпланарних векторів, тобто всі чотири вектори лежать в одній площині. Тоді може трапитись одне з двох:

1) існує яка-небудь пара неколінеарних векторів, наприклад , . Тоді, за теоремою3, і звідси , тобто вектори , , , лінійно залежні;

2) не існує пари неколінеарних векторів, тобто . Тоді, за теоремою 1, . Звідси, , тобто і в цьому випадку вектори , , , . лінійно залежні.

Наслідок. У просторі існує не більше, як три лінійно незалежних вектори.

7. Властивості лінійних операцій над векторами. Для визначених на множині векторів лінійних операцій справджуються такі властивості:

.

.

.

.

.

.

.

. .

Справді, властивості , , випливають з означень відповідно нуль-вектора, протилежного вектора та добутку вектора на скаляр. Властивості , випливають відповідно з рисунків

а властивість - з подібності трикутників, зображених на рисунках:

Для доведення властивості зауважимо, що вектори в обох частинах рівності мають однакову довжину:

‌ ,

обидва колінеарні, бо кожен колінеарний до вектора ; крім того, якщо і мають однакові знаки, то , а якщо і мають різні знаки, то .

Доведемо властивість . Кожен з векторів і колінеарний до вектора , тому вони колінеарні між собою. Розглянемо дві можливості.

1). Нехай і мають однакові знаки. Якщо , то напрями обох векторів і збігаються з напрямом вектора , а якщо , то їх напрями протилежні до напряму вектора . В обох випадках вектори і співнапрямлені. Покажемо, що їх довжини рівні. Вектори і співнапрямлені, тому, за означенням суми двох векторів, довжина їх суми дорівнює сумі довжин:

.

Звідси,

.

2). Нехай тепер і мають різні знаки. Якщо при цьому , то обидва вектори і дорівнюють нулеві, тобто властивість 7º справджується. Нехай і припустимо, що . Очевидно, що обидва вектори і мають напрям вектора , тобто вони співнапрямлені. Враховуючи, що вектори і протилежно напрямлені, дістаємо

.

Властивість доведено.

8. Базис та координати. Теореми 1, 3, 5 стверджують, що будь-який вектор прямої, площини чи простору можна єдиним чином подати у вигляді лінійної комбінації відповідно одного, двох чи трьох лінійно незалежних векторів. Саме тому пряму, площину та простір називають відповідно одно-, дво- та тривимірним простором.

Базисом даного простору називається максимальне число будь-яких лінійно незалежних векторів цього простору.

За теоремою 1, будь-який ненульовий вектор прямої утворює базис для векторів цієї прямої; згідно з теоремою 3, базис площини складається з будь-яких двох неколінеарних векторів; на підставі теореми 5, базисом простору може служити будь-яка трійка некомпланарних векторів.

Якщо - базис простору і , то числа називаються координатами вектора в базисі . Координати вектора на прямій та на площині визначаються аналогічно.

Зазначимо, що поряд зі записом вектора у вигляді лінійної комбінації векторів базису часто вживається більш стислий запис , або , якщо з контексту зрозуміло про який базис ідеться.

9. Операції над векторами в координатній формі. Поняття базису та координат вектора впроваджуються з метою формалізації та полегшення виконання операцій над векторами.

Твердження 1. При додаванні векторів їх координати додаються.

Справді, нехай , . Тоді, враховуючи властивості ,

.

Твердження 2. При множенні вектора на скаляр всі його координати множаться на цей скаляр.

Нехай і – яке-небудь число. Тоді, враховуючи послідовно властивості ,

.

10. Проекція вектора на вісь. Кутом між двома векторами називається менший з двох можливих кутів, які утворюють дані вектори, зведені до спільного початку; якщо вектори колінеарні й однаково напрямлені, то кут між ними дорівнює нулеві; якщо ж вектори колінеарні й протилежно напрямлені, то кут між ними дорівнює за означенням.

Нехай на площині задано вісь і вектор , який утворює кут з віссю . Проекцією вектора на вісь називається скаляр , який позначається , так що

(1)

Очевидно, що при , а при .

З рисунка видно, що проекція суми двох векторів дорівнює сумі проекцій доданків:

(2)

Покажемо, що

. (3)

Нехай . Тоді кожен зі співнапрямлених векторів та утворює з віссю один і той самий кут . На підставі (1),

.

Звідси,

.

Якщо ж , то вектори та протилежно напрямлені. Нехай вектор утворює з віссю кут . Тоді вектор утворює з віссю кут . На підставі (1),

.

Звідси,

.

Рівність (3) доведено.

11. Декартова система координат. Декартовою системою координат у просторі називається сукупність зафіксованої точки О (початок координат) та деякого базису . Прямі, що проходять через точку О в напрямах векторів базису, називаються осями координат ─ вісь абсцис, вісь ординат та вісь аплікат відповідно. Площина, що проходить через дві осі координат, називається координатною площиною.

Якщо вектори базису взаємно перпендикулярні, то базис називається ортогональним. Якщо вектори ортогонального базису мають одиничну довжину, то базис називається ортонормованим, а базисні вектори в цьому випадку прийнято позначати літерами . Відповідна декартова система координат називається прямокутною.

Вектор називається радіусом-вектором точки М, а його координати ─ координатами точки М. Легко побачити, що у випадку прямокутної декартової системи координати радіуса-вектора збігаються з відповідними проекціями вектора на осі координат, тобто для вектора , , .

Декартова система координат на площині визначається аналогічно.

12. Визначення координат вектора за координатами його початку та кінця. Нехай в декартовій системі координат точка А має координати , а точка В ─ . Потрібно знайти координати вектора .

За означенням координат точки, , . Вектор знайдемо як різницю векторів та :

.

Згідно з п. 9, координати вектора дорівнюють різницям однойменних координат векторів та , так що .

13. Поділ відрізка у заданому відношенні. Задано точки та . Знайти координати точки , яка поділяє відрізок у заданому відношенні , тобто .

Очевидно, що скалярна рівність рівносильна векторній рівності , яка, в свою чергу, рівносильна трьом скалярним рівностям для координат

Звідси,

(4)

Отримані рівності називаються формулами поділу відрізка у заданому відношенні .

Якщо точка поділяє відрізок навпіл, то , а формули (4) набувають вигляду

і називаються формулами поділу відрізка навпіл.