Розділ 8. Лінійні перетворення лінійних просторів.

§1. Основні поняття теорії лінійних перетворень.

1. Мотивація. У розділі 6 було показано, що якщо два базиси , лінійного простору зв’язані матрицею переходу , , , то координати , вектора в базисах , відповідно, зв’язані співвідношенням . Формулу можна витлумачити і інакше, а саме: якщо вектор має координати в деякій системі координат, то йому ставиться у відповідність вектор з координатами в тій самій системі координат за формулою . Іншими словами, співвідношення визначає в лінійному просторі функцію, яка кожному векторові ставить у відповідність деякий вектор того самого простору. В цьому розділі ми будемо систематично вивчати саме такі функції.

2. Означення та приклади. Якщо кожному векторові лінійного простору поставлено у відповідність єдиний вектор того самого простору, то кажуть, що задано перетворення цього простору, яке будемо позначати . При цьому вектор називається прообразом, а вектор – образом перетворення .

Перетворення лінійного простору називається лінійним, якщо для нього справджуються такі умови:

1.

2. .

Приклади. 1. Поворот тривимірного евклідового простору навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат, на який-небудь кут є лінійним перетворенням цього простору, яке кожному векторові ставить у відповідність вектор , отриманий поворотом вектора на кут навколо даної осі. Перевірити виконання умов 1, 2 як вправу.

2. Позначимо через який-небудь двовимірний підпростір тривимірного евклідового простору. Кожному векторові простору поставимо у відповідність вектор , який є ортогональною проекцією вектора на підпростір . Перевірити, що для такого перетворення справджуються умови 1, 2.

3. Нехай – – вимірний лінійний простір і нехай – деяка квадратна матриця порядку . Векторові простору поставимо у відповідність вектор того самого простору за правилом . Перевіримо, що так визначене перетворення лінійне. Справді, за відповідними властивостями множення матриць­,

,

.

4. В лінійному просторі многочленів, степінь яких не перевищує , покладемо . Це перетворення лінійне:

,

.

5. В просторі неперервних на проміжку функцій покладемо . Таке перетворення лінійне:

,

.

Перетворення , яке кожному векторові ставить у відповідність той самий вектор , , є лінійним і називається одиничним, або тотожним перетворенням.

Перетворення , яке кожний вектор відображує в нуль-вектор, , є лінійним і називається нульовим перетворенням.

Зазначимо, що будь-яке лінійне перетворення відображує нульовий вектор в самого себе:

.

3. Образ лінійного підпростору. Нехай – лінійне перетворення простору і нехай – який-небудь підпростір цього простору. Позначимо через сукупність образів всіх векторів підпростору при дії лінійного перетворення _, . будемо називати образом лінійного підпростору , а сам лінійний підпростір – прообразом.

Теорема про образ лінійного підпростору. Кожне лінійне перетворення лінійного простору відображує будь-який лінійний підпростір в лінійний підпростір, до того ж вимірність образу не перевищує вимірності прообразу.

Доведення. Нехай – лінійне перетворення простору , – підпростір цього простору і нехай – пара яких-небудь векторів сукупності . Тоді існують такі вектори підпростору , що , . Звідси, для будь-якої пари чисел

,

тобто в сукупність разом з кожною парою векторів входить і їх довільна лінійна комбінація, тому є лінійним підпростором.

Припустимо, що . Розглянемо в який-небудь базис . Згідно з припущенням, , тому система векторів лінійно залежна. Звідси, існує нетривіальна нульова лінійна комбінація . Подіємо лінійним перетворенням на обидві частини цієї рівності:

.

Звідси,

,

тобто вектори лінійно залежні, що суперечить умові. Таким чином, . Теорему доведено.

4. Умови існування та єдиності лінійного перетворення. Два лінійних перетворення лінійного простору збігаються, якщо .

Теорема існування та єдиності лінійного перетворення. Для будь-якого базису лінійного простору і будь-якої системи векторів цього простору існує єдине лінійне перетворення простору , яке задовольняє умови

. (1)

Доведення. Побудуємо перетворення лінійного простору за таким правилом: для будь-якого вектора

. (2)

Покажемо, що перетворення лінійне. Нехай . Тоді

,

.

Легко побачити, що побудоване за формулою (2) лінійне перетворення задовольняє умови (1). Справді, поклавши в рівності (2) отримуємо , .

Доведемо єдиність, тобто покажемо, що якщо для лінійного перетворення лінійного простору справджуються умови (1), то лінійне перетворення збігається з лінійним перетворенням . Справді, для будь-якого вектора

.

Теорему доведено.

5. Матриця лінійного перетворення. Нехай – базис лінійного простору , – яка-небудь система векторів цього простору і нехай – лінійне перетворення простору для якого , . Кожний вектор , , можна розкласти за векторами базису :

. (3)

чисел утворюють квадратну матрицю – го порядку, яка називається матрицею лінійного перетворення в базисі . Таким чином, кожному лінійному перетворенню –вимірного лінійного простору однозначно відповідає квадратна матриця – го порядку у заданому базисі. Очевидно, що й навпаки, – у заданому базисі кожна квадратна матриця – го порядку однозначно визначає лінійне перетворення за формулами (3).

Якщо стовпчик векторів позначити через , , то систему рівностей (3) можна компактно записати в матричній формі

. ( )

Звідси випливає, що якщо вектори утворюють базис лінійного простору , то матрицю лінійного перетворення можна трактувати як матрицю переходу від базису до базису , . Навпаки, матрицю переходу від базису до базису , , можна трактувати як матрицю лінійного перетворення, для якого , .

Насамкінець зауважимо, що позначення лінійного перетворення та його матриці одною й тою самою літерою не призводить до непорозумінь. Навпаки, такий збіг позначень дуже зручний.

6. Матричні записи. Нехай лінійне перетворення – вимірного лінійного простору в базисі цього простору має матрицю і нехай – яка-небудь – матриця з числовими елементами. Тоді добуток матриць є стовпчиком висотою , елементами якого є вектори , , . Позначимо через стовпчик висотою , складений з образів векторів , , при дії лінійного перетворення , тобто

.

Покажемо, що

. (4)

Для цього знайдемо – тий елемент стовпчика , . Враховуючи (3), маємо

. (5)

Тепер знайдемо – тий елемент стовпчика :

. (6)

З рівностей (5) і (6) випливає рівність (4).

Поклавши в рівності (4) , де – одинична матриця – го порядку, отримаємо , тобто рівність ( ).

Нехай – довільний вектор простору . Позначимо . Тоді розклад вектора за векторами базису можна записати в матричній формі:

.

З рівності (4) при отримуємо

. (7)

7. Зв’язок між координатами образу та прообразу. Нехай , , , , і нехай для деякого лінійного перетворення лінійного простору , заданого матрицею в базисі . Знайдемо зв’язок між координатами прообразу та координатами його образу . Враховуючи (7),

,

звідки

.

Ліва частина цієї рівності є лінійною комбінацією векторів базису коефіцієнтами якої є елементи рядка . Оскільки лінійна комбінація векторів базису дорівнює нулеві лише при нульових значеннях коефіцієнтів цієї лінійної комбінації, то

.

Звідси,

,

або, транспонуючи обидві частини цієї рівності, остаточно отримуємо

. (8)

Таким чином, якщо лінійне перетворення має матрицю в базисі , то стовпчик базисних векторів перетворюється за допомогою матриці (рівність ( )), а стовпчик координат вектора – за допомогою матриці (рівність (8)).

Зазначимо насамкінець, що якщо вектори , ототожнити зі стовпчиками їх координат , відповідно, , , то рівність (8) дає підставу використовувати запис замість позначення . Запис зручний тим, що його можна трактувати двояко – або як добуток матриці лінійного перетворення на стовпчик координат вектора , або як значення лінійного перетворення на векторі .

8. Зв’язок між матрицями лінійного перетворення в різних базисах. Нехай , – два базиси лінійного простору, зв’язаних матрицею переходу ,

, (9)

і нехай лінійне перетворення задається матрицями та в цих базисах відповідно, тобто, за ( ),

.

З одного боку, враховуючи (9),

.

З другого боку, на підставі рівностей (9) і (4),

.

Таким чином,

.

Якщо хоча б для одного , , – тий рядок матриці не збігався з – тим рядком матриці , то дві різні лінійні комбінації векторів базису збігалися б, що суперечить теоремі про єдиність розкладу вектора за векторами базису. Таким чином,

.

Транспонуючи обидві частини і враховуючи, що матриця переходу невироджена, остаточно отримуємо

. (10)

Квадратні матриці , зв’язані рівністю , де – довільна невироджена квадратна матриця, називаються подібними. Таким чином, матриці лінійного перетворення в різних базисах подібні.

9. Операції над лінійними перетвореннями. Нехай в – вимірному лінійному просторі задано два лінійних перетворення та .

Сумою лінійних перетворень та називається перетворення, яке позначається символом і яке визначається рівністю

. (11)

Перетворення лінійне. Справді, для будь-яких двох векторів , і будь-якого числа

,

Добутком лінійного перетворення на число називається перетворення, яке позначається і яке визначається рівністю

. (12)

Перетворення лінійне:

,

.

Добутком лінійних перетворень та називається перетворення, яке позначається символом і яке визначається рівністю

, (13)

тобто перетворення отримується як результат послідовного виконання перетворень та . Перетворення лінійне:

,

.

10. Матриці лінійних перетворень , , . Нехай , – два лінійні перетворення з матрицями та в базисі відповідно, тобто , .

На підставі ( ) для суми лінійних перетворень маємо

, (14)

тобто матриця суми лінійних перетворень в якому-небудь базисі дорівнює сумі матриць цих перетворень у тому самому базисі.

Тепер застосуємо рівність ( ) до лінійного перетворення :

, (15)

тобто матриця лінійного перетворення в деякому базисі дорівнює добутку матриці перетворення в тому самому базисі на число .

Послідовно застосовуючи рівності ( ) та (4), для добутку двох лінійних перетворень дістаємо

, (16)

тобто матриця добутку лінійних перетворень в деякому базисі дорівнює добутку матриць цих перетворень у тому самому базисі і в тому самому порядку.

11. Лінійний простір лінійних перетворень. З отриманих результатів випливає, що сукупність лінійних перетворень –вимірного лінійного простору сама утворює лінійний простір, ізоморфний лінійному просторові квадратних матриць – го порядку, при умові , що зафіксовано базис лінійного простору. Справді, в множині лінійних перетворень визначено операції додавання та множення на скаляр. Між множиною лінійних перетворень і простором квадратних матриць – го порядку існує взаємно однозначна відповідність , до того ж сумі лінійних перетворень відповідає сума матриць, а добутку лінійного перетворення на скаляр відповідає добуток матриці на той самий скаляр. Це означає, що, по-перше, для сукупності лінійних перетворень справджуються аксіоми лінійного простору, оскільки вони справджуються для простору квадратних матриць, тобто сукупність є лінійним простором, а по-друге, відображення є ізоморфним відображенням.

12. Обернене перетворення. Лінійне перетворення лінійного простору називається оберненим до лінійного перетворення того самого простору, якщо їх добуток збігається з тотожним перетворенням, , .

Теорема існування оберненого перетворення. Для лінійного перетворення обернене перетворення існує тоді і лише тоді, коли його матриця в якому-небудь базисі невироджена, до того ж матриця оберненого перетворення в тому самому базисі збігається з оберненою матрицею .

Доведення. Нехай матриця лінійного перетворення в базисі невироджена. Покажемо, що лінійне перетворення , яке в базисі має матрицю , є оберненим до перетворення . Справді, для будь-якого вектора

,

тобто – обернене до .

Навпаки, нехай лінійне перетворення має обернене перетворення і нехай вони мають відповідно матриці та в деякому базисі , , . З одного боку,

З другого боку, за означенням оберненого перетворення,

,

тому

,

або

.

Коефіцієнти нульової лінійної комбінації векторів базису дорівнюють нулеві, тому

.

Звідси,

,

тобто . Теорему доведено.

З доведеної теореми випливає, що якщо , то . Справді,

Якщо лінійне перетворення має обернене, то перетворення називається невиродженим. Обернене лінійне перетворення позначають символом .

13. Група невироджених лінійних перетворень. Легко перевірити, що сукупність невироджених лінійних перетворень лінійного простору утворює групу відносно операції множення лінійних перетворень. Справді, нехай – базис лінійного простору і нехай – будь-який вектор цього простору, , . Тоді для будь-яких невироджених лінійних перетворень простору за рівностями ( ) і (7) маємо

,

тобто множення лінійних перетворень асоціативне. Роль одиниці групи відіграє тотожне перетворення . Крім того, кожне невироджене перетворення має обернене.

Якщо лінійний простір дійсний, то група невироджених лінійних перетворень цього простору позначається ; у випадку комплексного лінійного простору – .

14. Ранг лінійного перетворення. Нехай лінійне перетворення має матрицю в деякому базисі і матрицю в якому-небудь іншому базисі . Тоді, за (10), , де – матриця переходу від базису до базису , . Звідси, за наслідком з теореми про ранг добутку матриць, , тобто ранги матриць одного й того самого лінійного перетворення в усіх базисах збігаються.

Ранг матриці лінійного перетворення в якому-небудь базисі називається рангом лінійного перетворення.

15. Образ лінійного перетворення. З теореми про образ лінійного підпростору випливає, що образ простору є лінійним підпростором цього простору, до того ж . Підпростір називається образом лінійного перетворення . В цьому пункті для образу лінійного перетворення ми істотно уточнимо теорему про образ лінійного підпростору.

Теорема про вимірність образу лінійного перетворення. Вимірність образу лінійного перетворення збігається з рангом цього перетворення.

Доведення. Нехай лінійне перетворення має матрицю в базисі , . Для будь-якого вектора , , . Оскільки , то . Звідси, базисом підпростору може служити будь-яка максимальна лінійно незалежна підсистема системи векторів . Запишемо рівність в розгорненому вигляді:

Звідси добре видно, що стовпчики матриці складаються з координат векторів у базисі . Звідси, згідно з теоремою про ранг матриці, максимальне число лінійно незалежних векторів системи дорівнює рангові матриці . Теорему доведено.

Доведена теорема дає підставу називати вимірність образу – число – рангом лінійного перетворення. Образ лінійного перетворення позначають ще , або .

16. Ядро лінійного перетворення. Ядром лінійного перетворення називається сукупність прообразів нуль-вектора. Ядро лінійного перетворення позначається символом , так що .

Ядро є лінійним підпростором простору . Справді, якщо , тобто , , то . Звідси, , тобто є лінійним підпростором.

Вимірність ядра лінійного перетворення називається дефектом цього перетворення.

Теорема. Сума рангу та дефекту лінійного перетворення дорівнює вимірності лінійного простору, .

Доведення. Нехай ядро лінійного перетворення має вимірність , . Виберемо базис ядра , , і доповнимо його векторами до базису простору .

Покажемо спочатку, що образ лінійного перетворення збігається з лінійною оболонкою векторів , . Справді, для будь-якого вектора існує прообраз , . Розкладемо вектор за векторами базису , . Тоді , тобто , тому .

Покажемо тепер, що векторів лінійно незалежні і тому утворюють базис образу . Припустимо супротивне і нехай існують такі, не всі нульові, числа , що . Звідси, за лінійністю , , тобто і тому вектор можна розкласти за векторами базису ядра:

.

Звідси,

,

що можливо лише при умові, що , . З отриманої суперечності випливає, що вектори лінійно незалежні, тому . Звідси, і теорему доведено.

Оскільки для невиродженого лінійного перетворення лінійного простору , то з доведеної теореми випливає, що образом невиродженого лінійного перетворення є весь лінійний простір. Якщо ж лінійне перетворення вироджене, то і, відповідно, образом такого перетворення є деякий власний лінійний підпростір простору .