- •Криволинейные интегралы
- •§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
- •Cвойства криволинейного интеграла.
- •§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
- •6. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы
- •§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.
- •§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
- •§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
- •Элементы векторного поля
- •§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
- •§ 2. Градиент
- •§ 3. Векторное поле. Поток векторного поля.
- •§ 4. Формула Остроградского.
- •§ 5. Дивергенция.
- •§ 6. Формула Стокса.
- •§ 7. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •§ 8. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
- •§ 9. Простейшие векторные поля.
§ 2. Градиент
Рассмотрим формулу производной скалярной функции u по направлению λ
Вторые множители являются проекциями единичного вектора , направленного по лучу λ .
Возьмем вектор, проекциями которого на оси координат будут значения частных производных в выбранной т. Р(x, y, z).
Этот вектор называют градиентом функции u (x, y, z) и обозначают gradu или
Определение. Градиентом функции u(x, y, z) называют вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
Проекции градиента зависят от выбора т. Р(x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки.
Каждой точке скалярного поля u (x, y, z) соответствует определенный вектор – градиент этой функции.
Итак, производная по направлению может иметь вид:
Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.
Раскрывая скалярное произведение, получим
,
где φ – угол между вектором gradu и лучом λ.
достигает наибольшего значения
при φ = 0
Итак, есть наибольшее значение производной в данной т.Р, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из т.Р, вдоль которого функция меняется быстрее всего.
Установим связь между направлением градиента функции и поверхностями уровня скалярного поля.
Теорема. Градиент функции u (x,y,z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку.
Доказательство. Выберем произвольную т. Р0 (x0, y0, z0).
Уравнение поверхности
уровня, проходящей через
т. будет u(x,y,z)= ,
u0 = u (x0, y0, z0)
Уравнение нормали к этой поверхности в т. , будет
Отсюда и следует, что направляющий вектор нормали, имеющий проекции , является градиентом функции u (x, y, z) в т. Р0, ч.т.д.
Таким образом, градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, т.е. его проекция на эту плоскость равна нулю.
Следовательно: Производная по любому направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.
Основные свойства градиента функции:
1) grad
2) grad , где С – Const
3) grad
4) grad
5) grad
Все свойства доказываются, используя определение градиента функции.
Пример. В т. М(1, 1, 1) найти направление наибольшего изменения скалярного поля и величину этого изменения.
Направление наибольшего изменения функции в точке совпадает с направлением градиента в этой точке.
Величина этого изменения равна модулю градиента