Cвойства криволинейного интеграла.
1) Криволинейный интеграл определяется подинтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования.
При изменении
направления интегрирования вектор
меняет знак, следовательно криволинейный
интеграл тоже меняет знак, т.е.
Замечание: Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
2) Если кривую L точкой К разбить на части МК и КN, то
Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых.
Если кривая L
замкнутая, то употребляется символ
и обязательно указывается направление интегрирования.
§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
Как уже отмечалось вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интегралов.
Пусть кривая Z задана параметрически
Аналогично вычисляют криволинейный интеграл
,
когда кривая Z задана параметрически
α
≤ t ≤ β
Пример
1.
Вычислить
а) L : отрезок прямой, соединяющей точки О(0; 0) и А(1; 1)
б) L : ломаная ОВА О(0; 0), В(1; 0), А(1; 1)
y
а) L
:
y = x
А параметрически:
x = x
y = x dy = dx
0 ≤ x ≤ 1
О B x
б)L : ломаная ОВА
Пример 2.
(Б.3818).
Вычислить
,
где L отрезок прямой от т.(1; 1; 1) до т.(2; 3; 4)
Составим уравнение
прямой по формуле
Параметрические уравнения прямой
x
= t
+1 dx
= dt
y = 2t +1 0 ≤ t ≤ 1 dy = 2dt
z = 3t +1 dz = 3dt
1 1 1
∫ xdx + ydy + (x+y-1) dz = ∫ (t +1) dt +∫ (2t +1) 2dt +∫ (t +1+ 2t ) 3dt =
L 0 0 0
1 1 1
=(t2/2 + t)│+ 2(t2 + t) │+ 3(3t2/2 + t) │ = ½ +1 +2(1+1) + 3(3/2 +1) =
0 0 0
=½ + 5 + 9/2 + 3 = 5 + 8 = 13
§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
Пусть в плоскости xoy задана правильная область D в направлении оси oy.
Такая область D ограничена линиями: x = a, x= b,
y y1(x), y=y2(x) ,
причем a < b, y1(x) ≤ y2(x)
Тогда площадь области D равна
Но
, т.к. y
= y2(x)
есть уравнение кривой MPN
,
т.к. y
= y1(x)
есть уравнение кривой MQN
Положительным считается направление против часовой стрелки, поэтому
(1)
Аналогично можно
показать, что
(2)
Из равенств (1) и (2) окончательно получим
