6. Формула Грина.

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости xoy задана правильная в направлении оси oy

область D.

D: x = a, x = b, причем a < b

y=y₁(x), y=y₂(x) y₁(x) ≤ y₂(x)

В области D заданы непрерывные функции P(x, y), Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные.

Рассмотрим интеграл

Представим его в виде двукратного

(1)

(2)

(3)

Подставляя равенства (2) и (3) в равенство (1) получим:

т.е. (4)

Аналогично (5)

Вычитая из (4) равенство (5) получим

Меняя направление интегрирования, получим

Это и есть формула Грина (английский физик и математик)

Пример (Б.3822) Вычислить ,

г де L: .

Воспользуемся формулой Грина

P

Вычислим полученный двойной нтеграл в полярных координатах

L :

Поверхностные интегралы

В разных физических вопросах часто встречаются функции, заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций могут служить плоскость распределения зарядов на поверхности проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, протекающей через некоторую поверхность, и т.д.

§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.

Пусть в каждой точке некоторой поверхности σ, ограниченной линией L определена функция ƒ(p). Разобьем поверхность σ произвольными кривыми на части ∆σ_1, ∆σ_2, ... , ∆σ_n . Площадь каждой из них обозначим так же

∆σ _1, ∆δ_2, ... , ∆δ_n. Выбрав в каждой из них произвольную точку Р_i составим сумму

n

∑ ƒ (Р_i) ∆δ_i , которую называют интегральной суммой.

i=1

Предел этой суммы при max ∆σ_i→0 называют поверхностным интегралом первого рода и обозначают или ,

п ри этом переменные x, y, z связаны условием: точка (x, y, z) лежит на поверхности σ.

Его вычисление сводится к вычислению двойного интеграла.

Поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) и проектируется на плоскость xoy в области D.

Площадь поверхности

где (x_i^*, y_i^*) – некоторая точка, лежащая в области D (т. ∆S_i)

где ∆S_i – площадь площадки ∆S_i.

т. P_i ∆ σ _i

P_i = P(x_i, y_i, z_i)

z

0 y

Д

Вычисляя предел левой и правой части при max ∆σ_i→0 (maxΔS_i→0) получим в левой части поверхностный интеграл, а в правой части двойной интеграл по области D.

Замечание. Если поверхность σ задана уравнением: x=x(y,z) или y = y(x,z),

то поверхностные интегралы вычисляются аналогично по формулам:

Пример (Б.3876) Вычислить ƒ(z + 2x + 4/3 y) dσ,

где σ – часть плоскости x/2 + y/3 + z/4 = 1, лежащая в первом октанте.

z

4 z = 4(1 – x/2 – y/3)

0 3

2 y

x

область D , т.е. ее проекция на пл. xoy

y

3

x/2 + y/3 = 1

0 2 x

2 3(1-x/2)

∫∫ (z + 2x + 4/3y)dδ = ∫ dx ∫ (4(1 – x/2 – y/3) + 2x + 4/3y) =

σ 0 0

2 3(1-x/2) 2 3(1-x/2) 2 2

∫ dx ∫ 4dy = 4∫ y│ dx = 4*3 ∫ (1-x/2) dx = 12(x – x³/4)│ = 12(2 – 4/4) = 12

0 0 0 0 0 0