ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФИЛИАЛ ГОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В г. ОКТЯБРЬСКОМ
Кафедра информационных технологий
Математических и естественных наук
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБОИЕ
По курсу «Высшая математика»
Методические указания и контрольные задания
для студентов заочного обучения
2009
В учебно – методическом пособии приводится образцы решения задач, подобных вариантам заданий контрольной работы, и варианты контрольных заданий для студентов заочного формы обучения.
Составители Ихсанова Ф.А., ст. преподаватель
Игтисамова Г.Р., к.т.н., доцент
Галеева Ф.Ф., ст. преподаватель
Ларин П.А., ст. преподаватель
Усманова Ф.К., ст. преподаватель
Рецензент Гуторов Ю.А., д.т.н., профессор
теоретические вопросы
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Теорема об инвариантности формы интегрирования.
Интегрирование методом замены переменной.
Интегралы вида:
,
,
,
.Интегрирование по частям. Основные случаи интегрирования по частям.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
,
.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: .
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: , .
Представление дробно-рациональных функций в виде простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей:
,
,
,
.Интегрирование иррациональных функций вида:
,
.Интегрирование дифференциального бинома:
.Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции. Универсальная замена.
Теорема об интегрировании функций, нечетных относительно
или
.Теорема об интегрировании функций, четных относительно или .
Интегрирование выражений вида:
,
,
,
.Понятие «неберущийся» интеграл.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграл: а) вычисление площади криволинейной трапеции; б) работа переменной силы.
Определенный интеграл. Определение. Теорема существования определенного интеграла (без док-ва).
Свойства определенного интеграла. Интеграл от суммы функций, вынесение постоянного множителя за знак интеграла, совпадение знака интеграла со знаком подинтегральной функции.
Свойства определенного интеграл. Теорема о перестановке пределов интегрирования, о разбиении интеграла, об оценке определенного интеграла, теорема о среднем.
Теорема о производной интеграла по верхнему пределу интегрирования.
Формула Ньютона Лейбница, связь определенного интеграла с неопределенным.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длин дуг в различных системах координат.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление объема тел по известным площадям поперечных сечений и объем тел вращения.
Вычисление работы при помощи определенного интеграла.
Несобственные интегралы: а) с бесконечными пределами; б) от разрывной функции. Рассмотреть случай:
.Приближенное вычисление определенного интеграла: а) формула трапеции; б) формула парабол (формула Симпсона) с доказательством леммы.
Кратные интегралы
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла (объем тел).
Двойной интеграл, определение, свойства.
Теорема существования двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла по произвольной области.
Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Вычисление объемов тел и площадей фигур при помощи двойных интегралов.
Задача, приводящая к понятию тройного интеграла (определение массы тела).
Тройной интеграл. Определение, свойства.
Вычисление координат центра тяжести с помощью определенных, двойных и тройных интегралов.
Криволинейные интегралы
Задачи, приводящие к понятию криволинейных интегралов 2 рода (по коорд.).
Криволинейные интегралы 2 рода: определение, теорема существования, вычисление, свойства, применение.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.
Формула Грина.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Интегрирование полных дифференциалов.
Криволинейный интеграл 1 рода (по длине дуги): определение, свойства, вычисление.
Теория поля. Поверхностные интегралы
Векторное, скалярное поля.
Производная скалярного поля по направлению.
Градиент, определение, связь с производной по направлению.
Поверхностные интегралы 2 рода: определение, вычисление, свойства.
Теорема Остроградского.
Поток векторного поля: через замкнутую поверхность. Знак потока.
Дивергенция векторного поля: определение, вычисление.
Теорема Остроградского в векторной форме.
Циркуляция векторного поля: определение.
Плотность циркуляции.
Ротор: определение, вычисление, смысл.
Теорема Стокса в векторной форме.
Соленоидальное, потенциальное поля. Их характерные особенности.