Дифференциальное исчисление

Данный материал предлагается вашему вниманию для того, чтобы вы могли применять его в своей деятельности. Впереди вас ждут такие дисциплины, как физика, механика, теплотехника, другие предметы, в которых вы будете применять математические методы. У вас будут лекционные и практические занятия. На лекциях даются необходимые сведения (формулы, методы решения задач), а на практических занятиях вы будете пользоваться ими при выполнении заданий. При прохождении этого курса желательно, чтобы вы воспроизводили доказательство утверждений и решение задач.

В тексте приняты следующие обозначения:

□ - начало решения, ♥ - начало доказательства, ■ – конец решения или доказательства.

1. Базовые понятия Слова мы пишем буквами, а числа – цифрами (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Число – знак для результата счёта¹, измерения, вычисления.

Цифры – знаки, придуманные для записи чисел.

Обычно мы пользуемся цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Их родина - древняя Индия.

Занимаясь математикой, вы имеете дело с величинами.

Величина – это 1) всякое число;

2) то, что равно какому – либо числу;

3) то, что может быть числом.

Так, величинами являются:

вес вашего тела (ведь он равен какому-то числу, скажем, 50 кг),

расстояние от вашего дома до какого - либо магазина,

количество ушей на вашей голове.

Часто величина обозначается буквой, например, буквой

Величина, содержащая хотя бы одну букву, называется буквенной величиной.

Например, выражение является буквенной величиной.

З а д а ч а 1. Скажите, какие величины присутствуют в выражении

□ В выражении

– величина (числовая величина), потому что 3 есть число;

– величина, так как. может быть числом (например, вместо вы можете подставить число);

- величина, ибо может быть числом (например, если взять то станет числом ). ■

Дадим теперь основное определение.

Математика – выполнение действий над величинами.

Так, вы можете выполнять арифметические действия (+, –, ·, :), возводить в степень, логарифмировать какую-либо величину или делать что-нибудь другое. Эти действия («игра» с величинами) ведутся по определённым правилам.

Например, величину вы находите следующим образом:

но не так:

Всякая запись, в которой указаны действия над величинами, называется формулой или выражением.

Выражение, содержащее знак " = ", называется равенством.

Равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин (переменных величин), называется уравнением.

Например, равенство есть уравнение с неизвестной величиной

Когда мы говорим, что величина приняла значение 5.