- •Упражнение 3.1
- •Упражнение 3.2
- •Упражнение 3.3
- •Упражнение 3.4
- •Упражнение 3.5
- •Упражнение 3.6
- •Упражнение 3.7
- •Упражнение 3.8.
- •Упражнение 3.9.
- •Упражнение 3.10.
- •Упражнение 3.14.
- •Упражнение 3.15.
- •Упражнение 3.16.
- •Упражнение 3.17.
- •Упражнение 3.18.
- •Упражнение 3.19.
- •Упражнение 3.20.
- •Управление 3.21.
- •Упражнение 3.22.
- •Упражнение 3.23.
- •Задание на 10 баллов.
Упражнение 3.14.
Найти векторное произведение векторов и с помощью определителя третьего порядка и проверить решение стандартной функцией cross(a,b)
>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];syms i j k
>> A=[i,j,k;a;b]
A =
[ i, j, k]
[ 1, 2, 0]
[ 2, 1, 0]
>> det(A)
ans =
-3*k
>> cross(a,b)
ans =
0 0 -3
Вычислить определитель полученной матрицы разложением по первой строке, обращаясь индексами к элементам матрицы.
>> axb=(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))*i+(A(3,1)*A(2,3)-A(2,1)*A(3,3))*j+(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))*k
axb =-3*k
>> cross(a,b)
ans =
0 0 -3
Упражнение 3.15.
Найти все векторы, перпендикулярные векторам и
>> a=[-1 3 2];b=[3 -2 2];
>> c=cross(a,b)
c =
10 8 -7
Все векторы, перпендикулярные данным будут принимать вид: m=l*c, где l-действительное число.
Упражнение 3.16.
Упростить выражение Затем найти скалярное произведение тех же векторов.
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3
>> a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];
>> ans1= cross(a,b)
>> ans2=cross(a+2*b,a-2*b)
ans1 =[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]
ans2 =[ (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3) - (a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3), (a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3), (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2) - (a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2)]
>> simplify(ans2)
ans =[ 4*a3*b2 - 4*a2*b3, 4*a1*b3 - 4*a3*b1, 4*a2*b1 - 4*a1*b2]
>> ans2./ans1
ans =[ -((a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3) - (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3))/(a2*b3 - a3*b2), -((a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3))/(a1*b3 - a3*b1), -((a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2) - (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2))/(a1*b2 - a2*b1)]
>> simplify(ans)
ans =[ -4, -4, -4]
Вывод
>> x=(a+b*2).*(a-b*2)
x =[ (a1 - 2*b1)*(a1 + 2*b1), (a2 - 2*b2)*(a2 + 2*b2), (a3 - 2*b3)*(a3 + 2*b3)]
>> simplify(x)
ans =[ a1^2 - 4*b1^2, a2^2 - 4*b2^2, a3^2 - 4*b3^2]
>> sum(ans)
ans = a1^2 + a2^2 + a3^2 - 4*b1^2 - 4*b2^2 - 4*b3^2
Вывод. Скалярное произведение тех же векторов преобразуется к совершенно иному виду, а именно, a1^2 + a2^2 + a3^2 - 4*b1^2 - 4*b2^2 - 4*b3^2 .
Упражнение 3.17.
Найти векторное произведение векторов и . Изобразить все данные и результат. Первый вектор изобразить синим, второй зеленым, результат красным. Сделать выводы: как связаны определение векторного произведения и то, что мы получили на рисунке.
>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];
>> c=cross(a,b)
c = 0 0 -3
>> grid on, hold on
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
axis square
line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
box on
>> line([0 1],[0,2],'LineWidth',2)
>> plot3(1,2,0,'>','LineWidth',2)
>> line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',2)
>> plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',2)
>> line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',2)
>> plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',2)
>> plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2)
>> plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2)
>> plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2)
>> text(4.5,-0.5,0.8,'X')
>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y')
>> text(-0.5,-1,4.5,'Z')
>> x1=0:0.1:1.9;y1=0:0.05:0.95;x2=1:0.1:2.9;y2=2:0.05:2.95;
>> line([x1; x2],[y1; y2],'Color','yellow','LineWidth',2)
Упражнение 3.18.
Вычислить площадь треугольника с вершинами и Изобразить плоскость треугольника. Как соотносятся площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.
>> A=[1,3,-1];B=[2 -1 4];C=[5 0 3];
>> a=B-A
a = 1 -4 5
>> b=C-A
b = 4 -3 4
>> cosphi=sum(a.*b)/(sum(a.^2)*sum(b.^2))
cosphi =0.0209 – phi приблизительно равен 90 градусам.
>> s=sqrt(sum(a.^2))*sqrt(sum(b.^2))/2
s =20.7485
>> line([1 2],[3 -1],[-1 4],'LineWidth',2)
>> hold on
>> plot3(2,-1,4,'>','LineWidth',2)
>> grid on
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> axis square
>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
>> box on
>> line([1 5],[3 0],[-1 3],'LineWidth',2,'color','green')
>> plot3(5,0,3,'>','LineWidth',2,'color','green')
>> cross(a,b)
ans = -1 24 19
>> line([1 -1],[3 24],[-1 19],'LineWidth',2,'color','red')
>> plot3(-1,24,19,'>','LineWidth',2,'color','blue')
>> x1=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];y1=[3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3];x2=2:0.3:5;y2=-1:0.1:0;z1=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];z2=4:-0.1:3;
>> line([x1; x2],[y1; y2],[z1;z2],'Color','yellow','LineWidth',2)