Упражнение 3.10.
Векторы
,
и
образуют базис (доказать).
>> a=[1 -2 0];b=[0,1,1];c=[1,2,2];
>> X=[a;b;c]
X =
1 -2 0
0 1 1
1 2 2
>> det(X)
ans =
-2 – детерминант матрицы не равен нулю, а значит векторы некомпланарны.
Изобразить эти векторы (в виде прямых) с омпощью функций line, учитывая, что теперь в этой функции три координатных аргумента: аргументы точек абсцисс, ординат и аппликат. (LineWidth не указывать.)
Изобразить орты
черным цветом, толщиной ‘LineWidth’,
4
Изобразить орты
векторов
толщиной ‘LineWidth’,4
>> A=a/sqrt(5); B=b/sqrt(2); C=c/3;
>> hold on
>> line([0 a(1)],[0 a(2)],[0 a(3)],'Color','black')
>> line([0 b(1)],[0 b(2)],[0 b(3)],'Color','black')
>> line([0 c(1)],[0 c(2)],[0 c(3)],'Color','black')
>> line([0 1],[0 0],[0 0],'Color','black','lineWidth',4)
>> line([0 0],[0 1],[0 0],'Color','black','lineWidth',4)
>> line([0 0],[0 0],[0 1],'Color','black','lineWidth',4)
>> line([0 C(1)],[0 C(2)],[0 C(3)],'Color','black','lineWidth',4)
>> line([0 A(1)],[0 A(2)],[0 A(3)],'Color','black','lineWidth',4)
>> line([0 B(1)],[0 B(2)],[0 B(3)],'Color','black','lineWidth',4)
>> text(0.5,0.1,0.1,'i')
>> text(0.1,0.5,0.1,'j')
>> text(0.1,0.1,0.5,'k')
>> grid on,
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> axis square
>> axis equal
>> box on
Упражнение
3.11.
Проверить, что векторы
не компланарны и, если это так, разложить
вектор 
по трем некомпланарным векторам
(при решении системы использовать
формулы Крамера), изобразить некомпланарные
векторы
и вектор
A) 
,
и 
,
,
>> p=[1 -1 1];q=[-1,1,-1];r=[0,1,-1]; s=[1 1 1];
>>A=[p;q;r]’;
>> det(A)
ans =0 -векторы p,q,r компланарны.
B) 
,
и
,
>> p=[2 1 1];q=[1 1 0];r=[0 1 -1];s=[1 1 1];
>> A=[p;q;r]'
A =
2 1 0
1 1 1
1 0 -1
>> det(A)
ans = 0 – векторы p,r,q компланарны.
C) , и , .
>> p=[1 -1 1];q=[1 1 0];r=[0 1 -1];s=[1 1 1];
>> A=[p;q;r]'
A =
1 1 0
-1 1 1
1 0 -1
>> B=[s;q;r]'
B =
1 1 0
1 1 1
1 0 -1
>> C=[p;s;r]'
C =
1 1 0
-1 1 1
1 1 -1
>> D=[p;q;s]'
D =
1 1 1
-1 1 1
1 0 1
>> x=det(B)/det(A), y=det(C)/det(A), z=det(D)/det(A)
x =-1
y = 2
z =-2
s=-p+2q-2r
>> line([0 p(1)],[0 p(2)],[0 p(3)],'Color','r')
>> line([0 q(1)],[0 q(2)],[0 q(3)],'Color','g')
>> line([0 r(1)],[0 r(2)],[0 r(3)],'Color','b')
>> line([0 s(1)],[0 s(2)],[0 s(3)],'Color','black')
>> grid on
Упражнение 3.12.
Вычислить скалярное произведение двух векторов a={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}
>> syms x1 x2 y1 y2 z1 z2
>> a=[x1,y1,z1];b=[x2,y2,z2];
1 способ.
>> c=a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+a(3)*b(3)
c = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
2 способ.
>> c=a.*b
c =
[ x1*x2, y1*y2, z1*z2]
>> sum(c)
ans =
x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
3 способ.
>> ab=sum(a.*b)
ab =
x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
Упражнение 3.13.
Выразить скалярное
произведение векторов
,
А) в декартовом базисе
,
и
>> syms x1 x2 y1 y2 z1 z2
>> a=[1,0,0];b=[0,1,0];c=[0,0,1];
>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;
>> pq=sum(p.*q)
>> pq =x1*x2+y1*y2+z1*z2
>> pq =x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
B) косоугольном базисе , и . Пользуясь геометрическим свойством скалярного произведения, убедиться, что векторы a,b,c образуют косоугольный базис.
>> ab=sum(a.*b)
ab =-2
>> bc=sum(b.*c)
bc =4
>> ac=sum(a.*c)
ac =-3
Ни одно из скалярных произведений не равно 0, а значит они не перпендикулярны.
>> a=[1,-2,0];b=[0,1,1];c=[1,2,2];
p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;
sum(p.*q)
ans =
5*x1*x2 - 2*x1*y2 - 2*x2*y1 - 3*x1*z2 - 3*x2*z1 + 2*y1*y2 + 4*y1*z2 + 4*y2*z1 + 9*z1*z2
C) в
прямоугольном, но не в ортонормированном
базисе
,
и
>> a=[3,0,0];b=[0,4,0];c=[0,0,5];
>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;
>> pq=sum(p.*q)
pq =9*x1*x2 + 16*y1*y2 + 25*z1*z2