- •1.1. Выборка и статистический ряд
- •1.2. Гистограмма и полигон относительных частот
- •1.3. Статистическая функция распределения
- •2.1. Понятие о точечных оценках и их свойствах
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •3.1. Понятие о доверительных интервалах
- •3.2. Приближённый метод построения доверительного интервала для математического ожидания
- •3.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределённой св
- •3.5. Построение доверительного интервала для дисперсии нормально распределённой св
- •4.1. Основные определения и общая схема проверки
- •4.2. Критерий согласия Пирсона
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова
- •4.4. Проверка гипотезы об одинаковом распределении двух непрерывных случайных величин
- •4.5. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин
- •4.6. Проверка гипотез о равенстве математического ожидания и дисперсии нормально распределённой св заданным числам
- •4.7. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределённых св
- •5.1. Общая характеристика метода метод статистических испытаний
- •5.2. Разыгрывание случайной величины с заданным законом распределения
- •5.3. Приближённое вычисление определённого интеграла
4.3. Критерий согласия Колмогорова
Критерий Колмогорова используется для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения непрерывной СВ по данным выборки. ЗР должен быть задан в виде непрерывной функции распределения с известными значениями параметров. По данным выборки объёма измерений СВ Х строится статистическая функция распределения СВ Х по формуле , где – количество элементов выборки, значение которых меньше значения аргумента х.
.
Если гипотеза истинна и – заданная теоретическая функция распределения СВ Х, то закон распределения статистики К при бесконечно большом n не зависит от закона распределения СВ Х и называется законом Колмогорова. определяется из .
4.4. Проверка гипотезы об одинаковом распределении двух непрерывных случайных величин
Пусть имеются независимые выборки измерений непрерывных СВ и объёма и соответственно. Рассмотрим критерий Смирнова-Колмогорова, используемый для проверки гипотезы об одинаковом законе распределения СВ и . По данным выборок строятся статистические функции распределения СВ и по формулам , .
.
Если гипотеза истинна, то при бесконечно больших и статистика К независимо от закона распределения СВ и имеет распределение Колмогорова. определяется из .
4.5. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин
Пусть – результаты n-кратных независимых измерений случайного вектора . Пусть множества возможных значений СВ Х и Y разбиты на группы (если Х и Y – дискретные СВ) или интервалы (если Х и Y – непрерывные СВ). Интервалы (группы) значений СВ Х и Y обозначим, соответственно, через и . Количество измерений случайного вектора , при которых СВ Х попала в интервал (группу) , а СВ Y – в интервал (группу) , обозначим .
Определив значения , вычислим величины
и , , , .
имеет распределение . Использовать .
4.6. Проверка гипотез о равенстве математического ожидания и дисперсии нормально распределённой св заданным числам
Пусть Х – случайная величина, имеющая нормальное распределение, а – результаты n независимых измерений этой СВ. Гипотеза о равенстве математического ожидания заданному значению m:
,
Если гипотеза является истинной, то СВ К является дробью Стьюдента с степенями свободы. из условия .
Гипотеза о равенстве дисперсии заданному значению :
.
Если гипотеза является истинной, то СВ К имеет -распределение с степенями свободы. и .
4.7. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределённых св
Пусть Х и Y – случайные величины, которые имеют нормальное распределение и измеряются независимо друг от друга. Пусть – результаты n независимых измерений СВ Х, а – результаты m независимых измерений СВ Y. Пусть и – исправленные дисперсии СВ Х и Y. Тогда в случае истинности выдвинутой гипотезы ( )
является дробью Фишера с степенями свободы. и .
5.1. Общая характеристика метода метод статистических испытаний
Пусть требуется найти неизвестное значение а изучаемой неслучайной величины. Один из способов решения поставленной задачи состоит в следующем: подбирается случайная величина Х, для которой , генерируется выборка независимых измерений Х, и значение принимается в качестве приближённого значения искомой величины а. Метод Монте-Карло обычно использует для своей работы случайные числа( ) независимых измерений СВ, имеющей равномерное распределение на отрезке .