- •1.1. Выборка и статистический ряд
- •1.2. Гистограмма и полигон относительных частот
- •1.3. Статистическая функция распределения
- •2.1. Понятие о точечных оценках и их свойствах
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •3.1. Понятие о доверительных интервалах
- •3.2. Приближённый метод построения доверительного интервала для математического ожидания
- •3.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределённой св
- •3.5. Построение доверительного интервала для дисперсии нормально распределённой св
- •4.1. Основные определения и общая схема проверки
- •4.2. Критерий согласия Пирсона
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова
- •4.4. Проверка гипотезы об одинаковом распределении двух непрерывных случайных величин
- •4.5. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин
- •4.6. Проверка гипотез о равенстве математического ожидания и дисперсии нормально распределённой св заданным числам
- •4.7. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределённых св
- •5.1. Общая характеристика метода метод статистических испытаний
- •5.2. Разыгрывание случайной величины с заданным законом распределения
- •5.3. Приближённое вычисление определённого интеграла
3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределённой св
Пусть – результаты n независимых измерений СВ Х, имеющей нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. Надо найти для .
Доказано, что при нормальном распределении СВ Х величина является дробью Стьюдента с степенями свободы. Доверительный интервал будем строить в виде , где должно определяться из условия
.
Умножив обе части неравенства на положительную величину , получим , откуда . Из таблиц, по известным n и найдём число из условия . Получим . .
3.5. Построение доверительного интервала для дисперсии нормально распределённой св
Пусть – результаты n независимых измерений СВ Х, имеющей нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. Надо для . Доказано, что при нормальном распределении СВ Х величина имеет -распределение с степенями свободы. Из таблиц, по известным значениям n и найдём числа и из условий и .
Тогда .
Следовательно .
4.1. Основные определения и общая схема проверки
Под статистической гипотезой понимается любое предположение о законах или параметрах распределения одной или нескольких СВ.
Ошибка первого рода – это отклонение гипотезы, которая в действительности является верной.
Ошибка второго рода – это принятие гипотезы, которая в действительности не является верной. Вероятности этих ошибок обозначаются, соответственно, и .
Уровень значимости ‑ вероятность ошибки первого рода ( ).
, но
Статистика критерия ‑ мера расхождения статистических (полученных на основании выборок измерений) и теоретических (предполагаемых) характеристик распределения СВ, относительно которых выдвинута гипотеза.
Допустимая (критическая) область статистики критерия ‑ множество возможных значений, при которых гипотеза принимается (отклоняется). Критическая область определяется неравенствами или и , где – значения статистики, которые при заданном уровне значимости определяются согласно одному из условий
или .
Общая схема проверки статистической гипотезы:
1) задаётся и формируются выборки измерений СВ.
2) по данным выборок вычисляется значение статистики К.
3) по из таблиц распределения статистики К определяются допустимая и критическая области.
4) если вычисленное значение статистики критерия принадлежит допустимой области, то гипотеза принимается, иначе– отклоняется.
4.2. Критерий согласия Пирсона
Критерий Пирсона используется для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения СВ по данным выборки. Этот закон может быть задан с помощью функции, плотности или ряда распределения. Параметры соответствующего закона или задаются заранее, или определяются по данным выборки.
,
где l – число интервалов (групп значений), – объём выборки, – количество элементов выборки, попавших в i-й интервал (i-ю группу значений), – вероятность попадания СВ Х в i-й интервал (i-ю группу значений), вычисленная для предполагаемого закона распределения.
Если гипотеза является истинной, то закон распределения статистики К при бесконечно большом n независимо от закона распределения СВ Х совпадает с , r – количество параметров ЗР, значения которых определяются по данным выборки. из . Недостаток ‑ происходит потеря информации из-за группировки данных выборки по разрядам.