- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.Системы линейных уравнений
- •2.Определители
- •3.Алгебра матриц
- •4.Линейная зависимость. Базис системы векторов
- •5.Прямые на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Дополнительные формулы.
- •6.Векторная геометрия
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения:
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения.
- •7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •8.Преобразование координат
- •9.Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Определение вида кривой второго порядка
- •Индивидуальные задания для студентов
9.Кривые второго порядка
Уравнение второго порядка – это уравнение вида
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Такое уравнение преобразованиями координат приводится к одному из следующих видов:
Уравнение |
Фигура |
|
Эллипс |
|
Точка |
|
Пустое множество (мнимый эллипс) |
|
Гипербола |
|
Пара пересекающихся прямых |
y2 = 2px, p>0 |
Парабола |
y2 = а2, а 0 |
Пара параллельных прямых |
y2 = –а2, а 0 |
Пустое множество (пара мнимых параллельных прямых) |
y2 = 0 |
Прямая (пара совпавших прямых) |
Эллипс
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
В ыведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F1 и F2 располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2с, значит, они имеют координаты F1(–с, 0) и F2(с, 0). Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение
MF1 + MF2 = 2a.
Подставляем MF1 = , MF2 = , получаем
+ = 2а.
Это уравнение приводится к виду
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).
При этом a >c, поэтому a2 – c2 > 0, и можно ввести обозначение a2 – c2 = b2. Уравнение тогда приводится к виду b2x2 + a2y2 = a2b2. Разделив его на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса
.
Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А1(–с, 0) и А(с, 0), ось ординат в точках B1(–b, 0) и B(b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А1А называется большой осью эллипса, отрезок В1В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.
Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.
Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
У равнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса из равенства
MF1 – MF2 = 2a.
Здесь фокусы имеют координаты F1(–с, 0) и F2(с, 0), c > b и c2 – a2 = b2. После преобразований получаем уравнение
.
Гипербола симметрична относительно обеих координатных осей. Она состоит из двух ветвей. Гипербола пересекает ось абсцисс в двух точках А1(–а, 0) и А(а, 0), которые называются вершинами гиперболы.
Прямые называются асимптотами гиперболы. Они могут строиться с помощью четырех прямых, параллельных осям: х = а, у = b. В пересечении этих прямых образуется прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы > 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия гиперболы: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут основной прямоугольник гиперболы.