- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.Системы линейных уравнений
- •2.Определители
- •3.Алгебра матриц
- •4.Линейная зависимость. Базис системы векторов
- •5.Прямые на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Дополнительные формулы.
- •6.Векторная геометрия
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения:
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения.
- •7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •8.Преобразование координат
- •9.Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Определение вида кривой второго порядка
- •Индивидуальные задания для студентов
6.Векторная геометрия
В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0x, 0y, 0z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.
Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую.
В разложении вектора = (1, 2, 3) по базису: = 1 + 2 + 3 слагаемые являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.
Перпендикулярные векторы называют ортогональными.
Если = (a, b, c) и известны координаты точки A(x1, y1, z1), то координаты точки B(x2, y2, z2) находим сложением этих координат: x2 = x1 + a, y2 = y1 + b, z2 = z1 + c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.
Пример 1.6.1. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты А(2, –1, 1), В(4, 2, 0), С(–3, 1, –2).
Р ешение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что
= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),
и получаем координаты D(2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), или D(–5, –2, –1).
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов и определяется формулой:
= cos, (1)
где – угол между векторами и .
Свойства скалярного произведения:
= .
= .
= .
.
Критерий ортогональности векторов: .
Если = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3) то = a1b1 + a2b2 + a3b3. Такая же формула с двумя слагаемыми для плоского случая.
Пример 1.6.2. Найти косинус угла между векторами = (2, –1, 3), и = (3, 2, –2).
Решение. Из формулы (1) получаем cos = ;
= = –2;
;
;
cos = .
Пример 1.6.3. Найти площадь треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(2, –1, 3), В(3, 2, –2), С(0, 3, 1).
Решение. Площадь находим по формуле , где – угол между АВ и АС. Вводим векторы
= (3 – 2, 2 – (–1), –2 – 3) = (1, 3, –5);
= (0 – 2, 3 – (–1), 1 – 3) = (–2, 4, –2).
cos находим, как в примере 1.6.2:
= –2 + 12 + 10 = 20;
; ;
cos = ;
;
.
Замечание. При вычислении sin сокращение не производилось специально, чтобы упростить вычисления на последнем шаге.
Векторное произведение
Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Эта характеристика называется ориентацией тройки векторов.
Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.
Векторным произведением векторов и называется вектор = такой, что:
(a) , где – угол между векторами;
(b) , ;
(c) векторы , , образуют правую тройку.