7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0. (1)

Коэффициенты этого уравнения определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Нормалью, или нормальным вектором к плоскости называется любой вектор, ортогональный к этой плоскости.

Вектор, нормальный к плоскости, заданной уравнением (1), это вектор

= (A, B, C). (2)

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(x₀, y₀, z₀) и имеющей нормаль = (A, B, C):

A(x – x₀)+ B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. (3)

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂), М₃(x₃, y₃, z₃):

= 0. (4)

Расстояние от точки М(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:

. (5)

Уравнение прямой в пространстве

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей. В этом случае она задается системой уравнений, определяющих эти плоскости:

(6)

Каноническое уравнение прямой:

. (7)

Здесь М(x₀, y₀, z₀) – точка, через которую проходит прямая, (l, m, n) – направляющий вектор прямой.

Это уравнение на самом деле представляет собой систему двух уравнений, как и в формуле (6). Один или два знаменателя могут быть равны 0, это будет означать, что соответствующие числители приравниваются к 0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂):

. (8)

Пример 1.7.1. В пространстве заданы точки A(3, 2, –1), В(2, –1, 2) С(1, 3, 4), D (4, –5, 5). а) постройте уравнение плоскости (АВС); б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (АВС); в) постройте уравнение прямой АС; г) постройте уравнение перпендикуляра к плоскости (АВС), проходящего через точку D.

Решение. а) Воспользуемся формулой (4):

= 0;

= 0;

(x – 3)( –15 – 3) – (y – 2)( –5 + 6) + (z + 1)( –1 – 6) = 0;

–18(x – 3) – (y – 2) – 7(z + 1) = 0;

–18x + 54 – y + 2 – 7z – 7 = 0;

–18x – y – 7z + 49 = 0;

18x + y + 7z – 49 = 0.

б) Воспользуемся формулой (5):

.

в) Воспользуемся формулой (8):

;

.

г) Направляющим вектором перпендикуляра является нормаль к плоскости; из пункта а) это = (18, 1, 7). Воспользуемся формулой (7):

.

У п р а ж н е н и я

1.7.1. В пространстве даны точки А(1; 3; 0), B(–1; 2; 1), C(–2; 1; 3), D (2; 2; 1).

а) Постройте уравнение плоскости АВС;

б) Постройте уравнение прямой ВС;

в)Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;

г) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС;

д) Постройте уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС.

8.Преобразование координат

Ч асто для определения вида и параметров фигуры, задаваемой уравнением в некоторой системе координат, бывает удобно перейти к другой системе координат. Это может упростить уравнение.

Простейшее преобразование – это параллельный перенос координатных осей. Пусть новые координатные оси x₁ и y₁ имеют в старых координатах уравнения x = a, y = b. Тогда новые координатные оси выражаются через старые формулами x₁ = x – a, y₁ = y – b, а старые через новые формулами x = x₁+ a, y = y₁+ b. Например, уравнение окружности с центром в точке А(a, b) и радиусом r в старых координатах имеет вид (x – a)² + (y – b)² = r², а в новых x₁² + y₁² = r².

Другой вид преобразований системы координат – это поворот координатных осей вокруг начала координат на угол  (угол отсчитывается против часовой стрелки). Формулы перехода от старой системы к новой задаются уравнениями

Формулы перехода от новой системы к старой задаются уравнениями

Можно использовать и косоугольную систему координат, в которой оси расположены под произвольным углом и длины единичных отрезков по осям абсцисс и ординат различны. В такой системе прямые линии и многие другие фигуры задаются уравнениями тех же типов, что и в прямоугольной, но параметры уравнений изменяются; становится весьма проблематично определять расстояния и углы. Но использование косоугольной системы координат позволяет упрощать преобразование уравнений в тех случаях, когда требуется определить только тип фигур, задаваемых этими уравнениями. Преобразование координат производится по формулам

где ad – bc  0.

С овершенно другой вид системы координат, отличный от декартовой, – это полярная система координат. Она задается точкой (полюсом) О и полярной осью – лучом, выходящим из полюса. Положение любой точки М на плоскости задается углом , который луч ОМ образует с полярным лучом, и радиус-вектором r – длиной отрезка ОМ. Эти два параметра полностью определяют положение точки М. При этом радиус-вектор определяется однозначно, а угол с точностью до периода 2: этот период соответствует полному обороту вокруг полюса, приводящему к тому же направлению. Например, уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R в полярной системе имеет вид r = R.

От декартовой к полярной системе координат можно перейти по формулам x = r cos , y = r sin . Обратный переход производится с помощью формул

r = ;