Свойства векторного произведения:

1.  = –  (антикоммутативность).

2. = .

3. = .

4. Критерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и , равна модулю их векторного произведения: .

7. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 1.6.4. Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и = (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

=

= (2 – 6) – (–4 – 9) + (4 + 3) = –4 + 13 + 7 = (–4, 13, 7).

Пример 1.6.5. Найти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A(3, 2, 0), C(2, –1, 2) D(1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма. Так как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);

.

Смешанное произведение

Смешанным произведением векторов , , называется число (  ) .

Свойства смешанного произведения.

1. Операции векторного и скалярного произведения можно переставить местами, то есть (  ) = (  ), поэтому смешанное произведение обозначают просто .

2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: = = .

3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = – = – = – .

4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами , и , равен .

5. Критерий ориентации тройки векторов , , : тройка правая, если > 0, и тройка левая, если < 0.

6. Критерий компланарности: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда = 0.

7. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), = (c₁, c₂, c₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

П ример 1.6.6. Найти объем параллелограмма ABCDA₁B₁C₁D₁, если заданы координаты вершин A(3, 2, 0), C(2, –1, 2) D(1, 3, –4), C₁(4, 5, 7).

Решение. Изобразим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы понять, какие векторы задают ребра параллелепипеда. Так как заданы точки A, C, D, C₁, то естественно использовать векторы , и :

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (4 – 2, 5 + 1, 7 – 2) = (2, 6, 5).

Тогда

= = 2(–20 – 36) – 1(5 – 12) + 4(6 + 8) = –49;

V = 49.

У п р а ж н е н и я

1.6.1. Найдите косинус угла С треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(1; –3; 2), B(1; 0; –2), С(3; 1; 3).

1.6.2. У параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы координаты вершин А(1; 3; 0), B(–1; 2; 2), D(3; 2; –2), В₁(0; 7; 1). Найдите:

а) объем параллелепипеда;

б) площадь грани ABCD.