Содержание программы государственного экзамена

№

п.п

Вопросы программы

Основные понятия, теоремы,

факты

Навыки и умения

1

Дать аксиоматику действительных чисел.

Числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Принцип вложенных отрезков.

Нахождение inf, sup, min, max числовых множеств.

2

Определить понятие предела последовательности и последовательности Коши.

Предел и арифметические операции; предел и неравенства. Теорема о пределе монотонной последовательности. Критерий Коши.

Вычисление пределов числовых последовательностей.

3

Определить понятие предела функции одной и нескольких переменных.

Теорема о пределе суммы, произведения, частного, композиции отображений.

Вычисление пределов функций одной или нескольких переменных.

4

Дать определение непрерывной функции и доказать основные свойства непрерывных функции.

Теорема об ограниченности непрерывной функции, определенной на компактном множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Нахождение точек непрерывности и разрывов функций.

5

Определить понятие дифференцируемости функций одной и нескольких переменных.

Производная суммы, произведения, частного, композиции, обратной функции. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя.

Вычисление производных элементарных функций. Нахождение уравнений касательных к графикам функций.

6

Привести вывод формулы Тейлора.

Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Лагранжа. Формула Тейлора функции многих переменных.

Исследование локального поведения функций. Приближенное вычисление значений функций.

7

Определить понятие экстремумов функций одной и нескольких переменных.

Необходимые условия экстремума, достаточные условия экстремума.

Исследование функций на экстремум.

8

Определить понятия числовых и функциональных ряды. Перечислить свойства степенных рядов.

Признаки сходимости числовых рядов (Д’Аламбера, Коши, интегральный). Абсолютная и условная сходимость. Свойства степенных рядов и их сумм (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость).

Разложение функций в степенные ряды.

9

Определить ряд Фурье и сформулировать условия его сходимости.

Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье

Разложение функций в ряды Фурье.

10

Дать определение неопределенного интеграла и доказать его основные свойства

Свойства неопределенного интеграла. Простейшие методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей.

Вычисление неопределенного интеграла. Использование метода неопределенных коэффициентов.

11

Дать определение интеграла Римана.

Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям. Замена переменных в интеграле.

Вычисление интегралов от простейших функций. Использование интегралов для вычисления площади фигуры.

12

Сформулировать основные понятия функции одной комплексной переменной.

Интегральная формула Коши. Ряды Лорана. Вычеты.

Разложение функций в ряды Лорана. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

13

Представить классификацию линейных интегральных уравнений.

Методы решения уравнения Фредгольма 2-го рода.

Решение линейных интегральных уравнений.

14

Дать определение нормированного пространства и ограниченного линейного оператора.

Примеры нормированных пространств. Теорема о связи между непрерывностью и ограниченностью линейных операторов.

Оценка норм операторов и функционалов

15

Привести методы решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешённые и неразрешённые относительно производной.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

16

Привести методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами и методы их решения.

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

17

Привести классификацию линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Привести постановку задачи Коши для основных уравнений в частных производных

Формулы решения задач Коши для уравнений параболического и гиперболического типов

Решение задач Коши для уравнений параболического и гиперболического типов Метод Фурье для смешанных и краевых задач.

18

Дать определение и привести свойства прямой линии на плоскости и прямой и плоскости в пространстве.

Различные виды уравнения прямой на плоскости и уравнений прямой и плоскости в пространстве.

Составление уравнений прямых и плоскостей.

19

Представить уравнения кривых второго порядка.

Канонические уравнения кривых второго порядка. Свойства кривых второго порядка.

Составление уравнений кривых второго порядка. Исследование свойств и формы кривой по ее уравнению.

20

Дать определения группы, кольца, поля. Привести пример кольца полиномов над полем.

Теорема о существовании решения алгебраического уравнения (основная теорема алгебры). Теорема о разложении полинома на неприводимые множители.

Использование алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя полиномов.

21

Дать определения векторного пространства и линейного оператора.

Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость и независимость векторов, базис. Линейные операторы. Матричная запись линейного оператора. Определители. Решение систем линейных уравнений.

Действия с матрицами. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений.

22

Сформулировать и доказать основные свойства квадратичных форм.

Квадратичные формы, канонический вид квадратичной формы. Закон инерции действительных квадратичных форм.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

23

Описать схему независимых испытаний Бернулли и ее предельных случаев.

Независимые испытания Бернулли. Предельная теорема Пуассона, локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа и их следствия.

Применение схемы Бернулли при решении задач.

24

Описать случайные величины и их числовых характеристик.

Дискретные и непрерывные случайные величины. Свойства функций распределения и плотностей. Математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции и их свойства.

Нахождение математического ожидания, дисперсии, моментов.

25

Описать архитектуру современных ЭВМ.

Понятие архитектуры. Общие архитектурные свойства и принципы. Архитектурные особенности компьютеров. Режимы работы микропроцессора. Набор регистров микропроцессора. Организация оперативной памяти.

Применение знаний об архитектуре ЭВМ для разработки эффективных программ.

26

Классифицировать программное обеспечение ЭВМ и основные технологии разработки программного обеспечения.

Классификация программного обеспечения ЭВМ. Назначение прикладного и системного программного обеспечения. Структурное программирование. Модульное программирование. Объектно-ориентированное программирование.

Разработка программ с использованием технологий структурного, модульного и объектно-ориентированного программирования.

27

Определить основные понятия объектно-ориентированного программирования.

Понятие ООП. Абстрактные типы данных. Объекты и классы. Базовые принципы ООП: инкапсуляция, наследование, полиморфизм. Примеры использования принципов ООП на практике.

Разработка объектно-ориентированных программ.

28

Описать основные понятия конструирования программ и современных систем программирования.

Основные этапы проектирования программ. Основные блоки транслятора, их функции. Структура программы. Отладка и тестирование программ. Компоненты интегрированной среды программирования. Системы визуального программирования.

Разработка и отладка программ в интегрированной среде программирования. Разработка приложений в среде визуального программирования.

29

Описать основные понятия о конструировании программ на языке высокого уровня. Определить типы данных и основных конструкции языка программирования.

Типы данных. Скалярные и структурированные типы данных, их назначение и использование. Ввод-вывод на языке высокого уровня. Основные операторы языка программирования. Использование подпрограмм. Стандартные библиотеки подпрограмм.

Разработка прикладных программ на языке высокого уровня.

30

Определить концепции глобальных компьютерных сетей Internet.

Протокол TCP/IP – основные понятия и концепции. Кэширующий прокси-сервер, почтовый сервер, Web-сервер

Настройка прокси, почтового, Web серверов

31

Определить концепции и топологии локальных вычислительных сетей (ЛВС)

Определение топологических элементов ЛВС. Топология. Адресация. Маршрутизация. Разделение ресурсов.

Настройка сетевых адаптеров ЛВС (протокол ТСР/IР).

32

Определить концепции структура баз данных. Привести примеры использование баз данных.

Иерархическая, сетевая и реляционная модели данных. Методы создания и обращения в информационной среде СУБД.

Создание программных файлов и отчетов. Обработка данных в интерактивном режиме.

33

Привести алгоритм и оценки погрешностей численных методов линейной алгебры

Метод Гаусса решения СЛАУ с выбором главного элемента. Вычисление определителей и обращение матриц с помощью метода Гаусса.

Решение СЛАУ прямыми и итерационными методами. Вычисление определителей и нахождение обратных матриц.

34

представить определения и привести алгоритмы построения интерполяционных многочленов.

Интерполяция по I и II формуле Ньютона, формуле Лагранжа.

Построение интерполяционных формул Ньютона, Лагранжа

35

Привести основные квадратурные формулы.

Приближенное вычисление интегралов по формуле прямоугольников, простой и обобщённой формулам трапеции и Симпсона. Квадратурные формулы Чебышева и Гаусса.

Реализация вычислений по данным квадратурным формулам.

36

описать методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши).

Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешность аппроксимации каждого метода.

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

37

Привести постановку и методы решения задачи линейного программирования (ЛП)

Постановка задачи ЛП. Условия оптимальности и отсутствия оптимального плана. Итерация симплекс-метода.

Выбор начального приближения. Табличная реализация и геометрическая интерпретация симплекс-метода.

38

Привести алгоритмы градиентных методов поиска минимума функции.

Постановка задачи безусловной оптимизации. Свойство градиента, лежащее в основе градиентных методов вычислений. Алгоритм и геометрическая иллюстрация метода скорейшего спуска.

Реализация методов. Способы выбора шага и направления.