9.10. Нахождение экстремальных значений на поверхности отклика

Запишем уравнение поверхности отклика в следующем виде

где x₁,...,x_k – независимые переменные, k – число факторов. Во мно­гих случаях цель имитационного моделирования заключается в поис­ке таких величин или уровней независимых переменных, при которых отклик достигает экстремального значения. Для определения на­правления движения к экстремальной точке в случае использования количественных, непрерывных и измеряемых величин применяют ряд небольших, полных и неполных факторных экспериментов. Так как поверхность отклика неизвестна, то ее аппроксимируют какой-то гладкой функцией, в качестве которой обычно используют полином первого порядка

или второго порядка

Параметры a₀,a₁,...,a_k,... оценивают по результатам факторного эксперимента.

Для поиска экстремума наиболее часто используют метод ско­рейшего подъема. Он основан на линейной аппроксимации поверхно­сти отклика в окрестности рассматриваемой точки P c помощью фак­торного эксперимента.

По построенной линейной функции определяется направление скорейшего подъема к точке оптимума (рис. 9.8). В направлении делается небольшой шаг, после чего описанная процедура повторяет­ся снова. Метод не позволяет определить длину шага, однако, указы­вает направление движения.

Предположим, что исследователь провел в точке P эксперимент c 2^k комбинациями плюс два наблюдения в центре. Эксперимент по­зволяет определить коэффициенты а₀, а₁, а₂ (для случая k = 2 ), кото­рые определяют наклон плоскости аппроксимации. Направление ско­рейшего подъема показывает относительные величины изменения факторов, обеспечивающих максимальное увеличение отклика. Под­нявшись по этому направлению до некоторой точки P₁, необходимо повторить всю процедуру. Такой итерационный процесс позволяет достигать все лучших и лучших значений отклика. Однако вблизи точки экстремума эта процедура неэффективна, так как коэффициен­ты а₁ и а₂, определяющие наклон аппроксимирующей плоскости, становятся небольшими и точность их оценивания низка. Это означа­ет, что вблизи экстремальной точки линейная аппроксимация по­верхности отклика является недостаточной и надо переходить к ап­проксимации полиномом более высокой степени.

Рис. 9.8

Для рассматриваемого примера эксперимент c 2^k комбинациями достаточен для оценивания коэффициентов a₀,a₁,a₂. Однако два до­бавочных наблюдения в геометрическом центре P позволяют не только уточнить уравнение регрессии, но и получить несколько до­полнительных степеней свободы для проверки статистической зна­чимости оценок параметров регрессии. To же самое можно сделать c помощью повторного эксперимента. Вблизи экстремума поверхности желательно аппроксимировать поверхности отклика, по меньшей ме­ре, полиномом второго порядка. Для этого используют приближение:

у = a₀ + a₁x_l +a₂x₂ + a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + a₁₂x₁x₂

Для оценки коэффициентов регрессии этой модели необходимо измерить каждый фактор, по крайней мере, на трех уровнях, то есть использовать 3^k-факторный эксперимент. Однако этот эксперимент дает довольно низкую точность оценок коэффициентов регрессии. Поэтому специально для квадратичных полиномов используют дру­гие способы построения эксперимента. Из них наиболее полезными являются центральный композиционный или рототабельный пла­ны. Они получаются путем добавления дополнительных точек к дан­ным, полученным из 2^k факторных экспериментов. Для рототабель-ного построения стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. Такие построения разработаны для любого числа факторов и представляют собой правильные геометрические фигуры c центральными точками.