Свойства выпуклых функций

1. Функция f выпукла на выпуклом множестве Х в том и только в том случае, если справедливо неравенство Иенсена:

f

для любого m, любых xⁱ X, i = и любых α_i 0, i = , = 1.

2. Пусть f_i, i = - выпуклые функции на выпуклом множестве Х, тогда

а) f(x) = - выпуклая функция если α_i 0, i = .

б) f(x) = f_i(x) – выпуклая функция, где I – произвольное множество индексов.

3. Пусть g – выпуклая функция на выпуклом множестве Х Rⁿ , : R R – неубывающая выпуклая функция. Тогда функция f(x) = (g(x)) выпукла на Х.

4. Пусть - выпуклая функция на R^m, A – матрица размера m n, b R^m. Тогда функция

f(x) = (Ax + b) выпукла на Rⁿ.

5. Пусть f – выпуклая функция на Rⁿ. Тогда f непрерывна в любой внутренней точке множества dom f.

Замечание. Если функция f выпукла и конечна на выпуклом множестве Х, тогда f непрерывна в любой внутренней точке множества Х (т.е. функция f может иметь разрывы только на границе множества Х).

Критерии выпуклости

1. Функция f(x) выпукла на всём пространстве тогда и только тогда, когда функция g(t) = f(x + tp) одной переменной t [0,1] выпукла при любых х, р.

2. Дважды непрерывно дифференцируемая функция f , определенная на выпуклом множестве Х, выпукла на Х в том и только том случае, если

(f ”(x)y,y) 0 x X, y Rⁿ,

т.е. если f ”(x) – матрица вторых производных функции f неотрицательно определена в любой точке х множества Х.

3. Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на Х, Х – выпуклое множество. Тогда f(x) – сильно выпуклая функция с параметром >0 на Х в том и только в том случае, если

(f ”(x)y,y) ||y||² для y Rⁿ и х Х.

Замечание. Выяснить, является ли эрмитова матрица А неотрицательно определённой можно, использовав один из следующих критериев.

1) Матрица А неотрицательно определена (А 0) тогда и только тогда, когда все её собственные значения неотрицательны.

2) А 0 в том и только в том случае, если все главные миноры (т.е. определители вида

…i_k = det ,

где 1 i₁<i₂<…<i_k n, k = ) – неотрицательны.

В теории решения экстремальных задач играют важную роль следующие теоремы.

Теорема. Пусть f(x) – выпуклая функция на выпуклом множестве Х. Тогда любая точка локального минимума f(x) на Х является точкой глобального минимума.

Теореме. Пусть f(x) – строго выпуклая функция на выпуклом множестве Х и множество её точек минимума Х_* непусто. Тогда Х_* состоит из единственной точки.

Теорема. Пусть f(x) – непрерывно сильно выпуклая функция с параметром >0 на Х, Х – замкнутое, выпуклое, непустое множество. Тогда решение задачи f(x) min, х Х существует и единственно.

Задачи и упражнения

1. Приведите примеры собственных и несобственных функций. Является ли

f(x) =

собственной функцией? А функция h(x) = max{f(x),0}, x R?

2. Пусть f(x) – выпуклая функция, показать, что dom f – выпуклое множество.

3. Показать, что f₊(x) = max{f(x),0}, x R – является выпуклой функцией, если f(x) – выпукла на R.

4. Используя определение выпуклости, показать выпуклость следующих функций:

а) f(x) = |x|;

б) f(x) =

в) f(x) =

5. Пусть f(x) – выпуклая функция на выпуклом множестве Х. Показать, что множество

М_а(f) X = {x X: f(x) a} выпукло для любого a Rⁿ. Привести пример невыпуклой функции, у которой любое множество уровня является выпуклым множеством.

6. Пусть g_i(x), i = - выпуклые функции. Показать, что X = {x Rⁿ : g_i(x) 0, i = } – выпуклое множество.

7. Пусть f(x) – выпуклая функция. Являются ли |f(x)| выпуклой функцией?

8. Пусть f(x) – выпуклая функция и f(x) 0. Показать, что g(x) = [f(X)]² – выпуклая функция.

9. Доказать, что ||x|| и ||x||², x Rⁿ, где ||x|| = , являются выпуклыми функциями. Является ли ||x||², x Rⁿ сильно выпуклой функцией?

10. Используя определение, показать, что f(x) = ax² + bx + c, x R выпукла при любом а>0. Является ли эта функция сильно выпуклой?

11. Пусть f(x) = ||Ax – b||², где А – заданная матрица n m, b Rⁿ. Доказать, что f(x) выпукла на R^m, а если А^ТА – невырождена, то а) f(x) выпукла на R^m; б) f(x) сильно выпукла на R^m. Найти f ’(x), f ’’(x).

12. Используя определение выпуклости функций, показать, что J(x(^.)) = - выпуклая функция, если x(^.) : [t₀, t₁] R, x(^.) C([t₀, t₁]).

13. Используя критерий выпуклости дифференцируемых функций, показать, что f(x) – выпуклая функция:

a) f(x) = -lnx, x>0;

б) f(x) = e^αx, α – произвольное число;

в) f(x) = x^-1, x>0;

г) f(x) = x^P, x 0, p 1;

д) f(x) = , x {x R²|x₂>0};

е) f(x) = 2x₁² + x₁x₂ + x₂², x R².

14. Показать , что если f(x) – выпуклая функция и f(x)<0 для любого х, то g(x) = также является выпуклой.

15.^* Является ли функция f(x) = ln , x Rⁿ выпуклой?

16. Верно ли, что если f(x) – выпуклая функция на [a,b] dom f, a, b R, то она непрерывна на [a, b]? Верно ли, что выпуклая на (a, b) dom f, a, b R функция является непрерывной?

17. Используя неравенство Иесена и выпуклость функции g(x), доказать, что

a) для x_i 0, i = (использовать выпуклость g(x) = -lnx, x>0);

б) m^n-1 , x_i>0, i = . (использовать выпуклость g(x) = x^P, P 1, x 0);

в) m², x_i > 0, i = . (использовать выпуклость g(x) = x^-1, x>0).

18.^* Пусть (x) непрерывна и (x) 0, x R. Доказать, что функция f(x) = выпукла при условии, что интеграл сходится.

19.^* Привести пример двух выпуклых функций, произведение которых невыпукло. При каких условиях произведение двух выпуклых функций выпукло? Достаточно ли для этого положительности сомножителей?

20.^* Доказать, что функция f(x) выпукла на выпуклом множестве Х тогда и только тогда, когда функция g(x) = f(x + t(p –x)) одной переменной t[0, 1] выпукла при любых x, p X, x dom f.

21. Проверить, является ли функция f выпуклой (вогнутой) на заданном множестве Х, или указать такие точки из Х, в окрестности которых f не является ни выпуклой, ни вогнутой.

а) f(x) = x₁⁶ + x₂² + x₃² + x₄² + 10x₁ + 5x₂ – 3x₄ – 20, X= R⁴ ;

б) f(x) = 6x₁² + x₂³ + 6x₃² + 12x₁ – 8x₂ + 7, X = {x R³ : x 0}.

22. Выяснить, при каких значения α является выпуклыми следующие полиномы:

а) f(x) = αx₁²x₂² + (x₁² + x₂²);

б) f(x) = αx₁²x₂² + (x₁ + x₂)⁴.

23. Пусть f(x) определена и выпукла на выпуклом замкнутом множестве Х. Можно ли утверждать, что

а) f(x) ограничена снизу на Х.

б) f(x) достигает своей нижней грани на множестве Х?

24. Доказать, что функция f(x) = на [a, b] является выпуклой функцией, где C([a, b]) и (t) – неубывающая функция.