3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения

В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием следует считать момент возникновения в сжатом стержне напряжения равного σ_кр. В этом случае условие устойчивости можно записать:

σ_кр≤[σ]_у,

где [σ]_у- допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое по формуле:

.

где n_у- коэффициент запаса устойчивости.

Введем обозначение . Соответственно, допускаемое напряжение на устойчивость:

[σ]_у = φ×[σ]_с,

где φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие;

[σ]_с – допускаемое напряжение на осевое сжатие стержня.

Коэффициент φ определяет степень снижения допускаемого напряжения при подольном изгибе. Поскольку коэффициент зависит от критического напряжения, то очевидно, что он зависит от гибкости стержня и механических характеристик материала. Следовательно, расчет на устойчивость сжатых стержней можно выполнять по форме как расчет на осевое сжатие, введя пониженное допускаемое напряжение [σ]_у.

Условие устойчивости можно записать:

Значения коэффициентов φ для продольного изгиба центрально сжатых стержней из сталей приведены в таблице 10.3.

Таблица 10.3

Гибкость, λ	Коэффициенты φ для сталей с допускаемым напряжением на сжатие [σ]с, МПа
	200	240
10	0,988	0,987
20	0,967	0,962
30	0,939	0,931
40	0,906	0,894
50	0,869	0,852
60	0,827	0,805
70	0,782	0,754
80	0,734	0,686
90	0,665	0,612
100	0,599	0,542
110	0,537	0,478
120	0,479	0,419
130	0,425	0,364
140	0,376	0,315
150	0,328	0,276
160	0,290	0,244
170	0,259	0,218
180	0,233	0,196
190	0,210	0,177
200	0,191	0,161
210	0,174	0,147
210	0,16	0,135

Подчеркнем, что хотя расчет по форме это расчет на сжатие, но по существу это расчет на устойчивость, обеспечивающий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости. Раличают два вида расчета на устойчивость: проверочный и пректировочный.

1. Проверочный расчет.

Если задана сжимающая сила, а также геометрические характеристики стержня то проверка прочности на устойчивость каких либо затруднений не вызывает. Прежде всего, определяем наименьший осевой момент инерции I_min , площадь сечения F и мининимальный радиус инерции:

,

а также гибкость:

Затем, зная гибкость, находим по таблице коэффициентφ и проверяем условие устойчивости:

2. Проектировочный расчет.

Более сложной задачей оказывается подбор сечения при заданной длине и сжимающей силе. Дело в том, что коэффициент φ зависит от гибкости стержня λ, а гибкость неизвестна, поскольку неизвестно сечениеение. В таком случае расчет выполняют методом последовательных приближений. Исходим из условия устойчивости:

.

Из неравенства определяем потребную площадь сечения:

Кроме искомой площади в последнем соотношении неизвестным является также коэффициент φ. Поэтому при подборе сечения приходится пользоваться методом последовательных приближеня величину коэффициента φ. Обычно на первом шаге принимаем φ₁=0,5‑0,6. При принятом φ₁определяем F и подбираем конфигурацию сечения, для которого определяем I_min, i_min, и λ. Определяем новое значение φ₁´. Если φ₁´ зачительно оличается от φ₁, то расчет поворяют при . В результате второй итерации определяют φ₂´. Если требуется третья итерация расчет повторяют при . Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя итерациями.

Пример 10.15

В стержне фермы возникает сжимающая сила P = 352 кН. Поперечное сечение стержня состоит из двух равнополочных уголков, расположенных тавром и соединенных между собой таким образом, что их совместная работа, как единого стержня, обеспечена. Материал стержня сталь Ст.3 (E=2,1×10⁵ МПа, [σ]_с=160 МПа, [σ]_пц=220 МПа), длина стержня l =5,31 м, концы стержня считать закрепленными шарнирно.

Подобрать размеры поперечного сечения стержня. Определить коэффициент запаса устойчивости стержня при принятых размерах поперечного сечения.

Решение.

Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба:

1. Первое приближение. Примем φ₁ =0,6.

Требуемая площадь сечения одного уголка:

F₁ = F/2 = 1,84×10^-3 м²

По ГОСТ 8509-72 уголок 100×100×10 имеет F₁ = 1,92×10^-3 м². Минимальный радиус инерции сечения i_min= i_x = 3,05×10^-2 м (очевидно, что для принятого сечения I_x < I_y).

Гибкость стержня:

, здесь μ=1, так как стержень шарнирно оперт.

По таблице 10.3 определим φ:

Значение значительно отличается от предварительно принятого φ.

2. Второе приближение.

Уголок 125×125×12-по ГОСТ 8509-72 имеет F=2,89×10^-3 м², i_min= i_x = 3,82×10^-2 м

Определим гибкость стержня:

.

По таблице 10.3 - φ₂≈0,376.

Определим действующее напряжение сжатия:

Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:

[σ]_у=φ₂×[σ]_с=0,376×160=60,2 МПа,

Следовательно, стержень будет перегружен на 1,16%. Такая перегрузка нежелательна, поэтому рассмотрим еще один вариант. Примем уголок с меньшей площадью сечения, но с большим радиусом инерции, что приведет к уменьшению гибкости, а, следовательно, к повышению φ и [σ]у.

3. Третье приближение.

Примем уголок 140×140×9 с F=2,47×10^-3 м², i_min= i_x = 4,34×10^-2 м;

Определим действующее напряжение сжатия:

,

По таблице 10.3 - φ₂≈0,468

Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:

[σ]_у=φ₂×[σ]_с=0,468×160=74,9 МПа.

Стержень будет недогружен на 5 %.

4. Определим коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах сечения.

Определим предельное значение гибкости:

Так как λ≥λ_пред, то для определения критических напряжений применим формулу Эйлера:

Определим запас устойчивости:

Пример 9.1

Конструкция цилиндрического гермофюзеляжа самолета, представляющая собой тонкостенную оболочку подкрепленную продольным (стрингера) и поперечным (шпангоуты) набором, изготовлена из алюминиевого сплава Д-16 с пределом текучести σ_тр= 26 кг/мм² и μ=0,3. Определить коэффициент запаса по условиям текучести n_т для пяти критериям текучести при следующих условиях нагружения:

а) эксплуатационный изгибающий момент вызывает продольные растягивающие нормальные напряжения в верхних точках фюзеляжа равными σ_x=20 кг/мм²;

б) одновременно с эксплуатационным изгибающим моментом в гермофюзеляжа создается избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм², которое вызывает в обшивке продольные σ_x= 4 кг/мм² и кольцевые напряжения σ_t= 8 кг/мм²;

в) дополнительно к условиям нагружения приведенным в п. б) на фюзеляж при выполнении маневра действует крутящий момент, который вызывает касательные напряжения в обшивке τ_xt= 8 кг/мм².

Решение.

Условие а).

В данном случае реализовывается одноосное напряженное состояние (рис. 9.6), для которого для всех критериев текучести эквивалентные напряжения равны:

σ_экв = σ_x

Рисунок 9.7

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_x = 26/20 = 1,3

Условие б).

При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.8).

Рисунок 9.8

В продольном направлении действует сумма напряжений от изгибающего момента и от избыточного давления σ_x =20+4 = 24 кг/мм². На внутреннюю поверхность обшивки действует избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм², которое вызывает в поверхностных слоях в радиальном направлении нормальное напряжение сжатия σ_r = - 0,006 кг/мм²

Действующие напряжения являются главными напряжениями: σ₁ = σ_x = 24 кг/мм², σ₂=σ_t= 8 кг/мм², σ₃ = σ_r=0,006 кг/мм².

1. По критерию максимальных главных напряжений:

σ

t

_экв = σ_x

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_x = 26/24 = 1,08

2. По критерию максимальной главной деформации:

σ_экв = σ_x-μ(σ_t + σ_r) = 24-0,3(20-0,006) ≈18 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/18 = 1,4

3. По критерию суммарной энергии деформации:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,2 = 0,99

4. По критерию максимальных касательных напряжений:

σ_экв=σ_x – σ_r = 26+0,006 =26 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26 = 1

5. По критерию энергии деформации сдвига:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,5 = 0,98

Условие в).

При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.9).

Рисунок 9.9

Дополнительно к напряжениям предыдущего нагружения, приведенному в п. б), действует касательное напряжение τ_xt= 8 кг/мм².

Определим главные напряжения:

,

σ₃ = 0,006 кг/мм².

По критерию максимальных главных напряжений:

σ

t

_экв = σ₁=26,5 кг/мм²

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,5 = 0,98

2. По критерию максимальной главной деформации:

σ_экв = σ₁-μ(σ₂ + σ₃) = 26,5-0,3(17,5-0,006) = 21,25 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/21,25 = 1,2

3. По критерию суммарной энергии деформации:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/27= 0,96

4. По критерию максимальных касательных напряжений:

σ_экв=σ₁ – σ₃ = 26,5+0,006 =26,506 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,506 = 0,98

4. По критерию энергии деформации сдвига:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/23,3 = 1,1