2.2. Перемещения поперечных сечений бруса
Рассмотрим деформацию бруса длиной l, переменного поперечного сечения F(x), переменного модуля упругости E(x) и с переменным нормальным усилием N(x) (рис. 3.24).
Рисунок 3.24
Для определения удлинения бруса рассмотрим удлинение бесконечно малого элемента dx.
Относительная деформация может быть записана в виде: (x)=dx/dx.
На основании закона Гука:
(x) = E(x) (x) = E(x) dx/dx
Поскольку при растяжении (x)=N(x)/F(x), то:
dx = N(x)/(E(x)F(x)) dx
Проинтегрируем по длине бруса, получим его удлинение:
l
=
В частном случае, когда по длине бруса нормальное усилие N(х), модуль упругости E(x) и площадь поперечного сечения F(x) неизменные, удлинение будет равно:
l = N l / E F
2.3. Эпюры нормальных напряжений, деформаций и перемещений при растяжении и сжатии ступенчатого бруса
Напряжения , относительные удлинения и перемещения сечений l изменяются по длине бруса и являются функциями положения сечения, т.е.:
, 
, 
Графики этих функций называют эпюрами. Все эпюры строят на одном чертеже под схемой бруса. Оси абсцисс для эпюр проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения напряжений, деформаций и перемещений в заранее выбранном масштабе. Положительные значения откладывают выше, а отрицательные ниже оси абсцисс. При построении эпюр пользуются следующими правилами.
1.На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется поперечное сечение бруса либо изменяется нагрузка. Нумерацию сечения начинают от свободного сечения бруса.
2. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение N(x) и строят эпюру нормальных сил в сечениях бруса, по правилам, которые приведены в разделе 2 главы 2, параграфе 2.2.3.
3. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение (x). Строят эпюру , разделив ординаты эпюры нормальных сил N на площадь сечения F. На эпюре будут скачки не только в сечениях, где приложены сосредоточенные нагрузки, но и в сечениях, где происходит ступенчатое изменение поперечного сечения бруса.
4. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение (x). Строят эпюру , разделив ординаты эпюры на значение модуля упругости для материала, из которого выполнен участок бруса. При E= const. для всех участков бруса, очертания эпюры будет повторять очертания эпюры .
5.Для каждого участка записывают аналитическое выражение перемещений сечений бруса l(х). Перемещения сечений бруса вычисляют от неподвижного сечения (заделки). Между перемещениями сечений бруса l(х) и относительной деформацией (х) существует интегральная зависимость, следовательно, эпюра l ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени эпюры . Перемещение любого сечения бруса l(х) относительно неподвижного равно алгебраической сумме площадей эпюры на интервале от неподвижного до рассматриваемого сечения. В сечениях где (х)= 0 - на эпюре l будет экстремум; в сечениях, где на эпюре скачки - на эпюре l будет перелом. Характерной особенностью эпюры перемещений l является отсутствие на ней скачков. Скачок на эпюре l возможен только при наличии первоначального зазора между двумя сечениями бруса.
Пример 3.3
Для ступенчатого стального бруса (рис. 3.25а) определить реакции в заделках, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , относительных деформаций , продольных перемещений l. Решение получить в буквенных выражениях.
Решение.
1. Нумеруем характерные сечения. Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х1 и Х4 (рис. 3.25б).
2. Запишем уравнение равновесия:
X=-X1-4q 2a+qa+X4=0, или:
X4–X1=7qa (1)
Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных.
3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки.
N1-2(x)=X1+4qx,
N2-3(x)=X1+4q2a-qx,
N3-4(x)=X1+4q 2a-qa=X1+7qa
4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций:
l1-4=0, или
l1-2+l2-3+l3-4=0
По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид:
l1-2=
=(a/EF)(X1+4qa)
l2-3=
l3-4=
Следовательно, уравнение совместимости примет вид:
,
или
(2)
Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим:
X1=
X4=
Рисунок 3.25
5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х1:
N1-2(x)
=
+4qx
N1(0)=
, N2(2a)=
N2-3(x)= +4q 2a-qx, N2(0)= , N3(a)=
N3-4(x)= +7qa=
Строим эпюру N (рис. 3.25в).
6. Запишем выражения нормальных напряжений:
1-2(x)=
(
+4qx), 1(0)=
, 2(2a)=
2-3(x)=
(
+4q 2a-qx), 2(0)=
3(a)=
3-4(x)=
Строим эпюру (рис. 3.25г).
7.Запишем выражения относительных деформаций:
1-2(x)=
(
+4qx), 1(0)=
, 2(2a)=
2-3(x)=
(
+4q 2a-qx), ε2(0)=
ε3(a)=
)
3-4(x)=
Строим эпюру (рис. 3.25д).
8. Запишем выражения перемещений сечений:
l1-2(x)=
=
l1(0)=0, l2(2a)=
;
l2-3(x)=
+
=
,
l2(0)=
, l3(a)=
;
l3-4(x)=
+
=
,
l3(0)=, l4(a)=0.
Строим эпюру l (рис. 3.25е).
Вычислим значение экстремума на эпюре l:
1-2(x)= ( +4qxmax )=0, откуда
xmax=81/56a, тогда
l1-2(xmax)=
=
.