2.1.1. Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы

Усилия в стержнях статически определимой системы определяют методом сечений. Применение метода рассмотрим на примере определения усилий в стержнях системы, приведенной на рисунке 2.10.

Пусть для системы заданы линейный размер a и усилие P. Стержень ABC абсолютно жесткий. Необходимо определить осевые усилия N в стержнях системы.

Система статически определима, что не трудно установить путем последовательного удаления любого из стержней или любой опоры. В этом случае система становится геометрически изменяемой и не воспринимает внешнюю нагрузку.

Рисунок 2.10

Для определения усилий выполним следующую последовательность операций.

1. Проводим сечения, вырезающие узел G и заменяем действие отброшенной части системы внутренними усилиями N, которые направляем на растяжение (рис. 2.11):

Рисунок 2.11

Составляем уравнения равновесия. При составлении уравнений равновесия используем принцип сохранения начальных размеров. Согласно этому принципу в случае деформаций при составлении уравнений равновесия конструкцию можно рассматривать как жесткую, имеющие первоначальную размеры и форму.

 x=-N₄–N₅×cos=0

 y=-P–N5×sin=0

откуда:

N₅=-Psin; N₄=-P/tg.

2. Проводим сечения, вырезающие узлы D и E, отбросим опоры, а их действие заменим внутренними усилиями N, которые направим на растяжение (рис. 2.12).

Рисунок 2.12

Составим уравнения равновесия:

 x=-N₁–N₂×cos45-N₃=0

 y=-P–N₂×sin45=0

 mom_C=N₃×a+P×2a=0

откуда:

N₃=-2P; N₂=-P/sin45; N₁=2P+P/tg45

Знак плюс означает, что направление усилия в стержне выбрано правильно; знак минус означает, что направление усилия необходимо изменить на противоположное направление.

Пример 2.1

На рисунке 2.13 показана силовая схема крепления лонжерона крыла к фюзеляжу при помощи системы стержней. Лонжерон состоит из трех частей, которые соединены между собой шарнирно. Стержни соединены с лонжероном и фюзеляжем также при помощи шарниров. Лонжерон нагружен распределенной аэродинамической нагрузкой. Распределение нагрузки несимметричное относительно оси симметрии самолета. Необходимо определить усилия в стержнях и лонжероне.

Рисунок 2.13

Решение.

Вначале определим, является ли заданная стержневая система статически определимой? Из рисунка видно, что лонжерон крепится к фюзеляжу 5-ью стержнями. При нагружении пояса лонжерона в стержнях возникает 5 неизвестных осевых усилий. Направление и точки приложения этих усилий известны. Так как по торцам стержней установлены шарниры, то усилия возникают в шарнирах вдоль стержней. Для системы можно составить три уравнения равновесия, что недостаточно для определения 5-ти неизвестных. Дополнительные два уравнения можно составить, если учесть, что консольные части лонжерона соединены со средней частью в точках O и O΄ шарнирно. Это означает, что для группы сил расположенных по одну из сторон от шарнира момент относительно шарнира равен нулю. Таким образом, мы получаем два дополнительных уравнения моментов относительно точек O и O΄. Следовательно, система статически определимая.

Выделим правую консоль по шарнирам O и E. Действие отброшенной части заменим компонентами реакций X_O, Y_O, X_A, Y_A. Действие распределенных нагрузок заменим их равнодействующими (рис. 2.14).

Рисунок 2.14

Составим уравнение равновесия:

, откуда

Y_A= 10,32 кН

Компоненту X_A определим из геометрического соотношения X_A/ Y_A=2700/1500. Следовательно, X_A=18,576 кН. Усилие в подкосе АЕ будет равно: N_AE= = 21,25 кН.

Для определения X_O и Y_O составим уравнения равновесия:

,

, откуда

X_O = 18,576 кН, Y_O = -15,6 кН.

Отрицательный знак у компоненты Y_O означает, что компонента направлена в противоположную сторону.

Для левой консоли O´A´ очевидно, что усилия будут больше в 8/6 раз, так как погонная нагрузка на левой консоли увеличена до 8 кН/м по сравнению с погонной нагрузкой на правой консоли 6 кН/м.

Следовательно:

Y_{A`</sub> = 10,32 ×4/3=13,76 кН, X<sub>A`} =18,576×4/3=24,768 кН,

N_A`E`=21,25×4/3=28,3 кН,

X_{O`</sub>=18,576×4/3=24,768 кН, Y<sub>O`}= -15,6×4/3= -20,8 кН

Выделим центральную часть лонжерона (рис. 2.15). Действие консолей заменим реакциями в шарнирах O и O´, которые получены ранее. Действие фюзеляжа заменим неизвестными усилиями N_CB, N_CB´, N_C´B´, которые направим на растяжение стержней. Распределенные нагрузки заменим их равнодействующими.

Рисунок 2.15

Для определения усилия N_BC составим уравнение моментов относительно точки B´: ,

откуда N_BC=21.96 кН

Для определения усилия N_B´C´ составим уравнение моментов относительно точки C:

,

откуда N_B´C´=40,16 кН

Для определения усилия N_B´C составим уравнение проекции на ось y:

,

откуда N_B´C =-12,95 кН

Знак минус означает, что в стержне возникает сжимающее усилие.

Для проверки составим уравнение проекций на ось x:

Пример 2.2

Основная стойка шасси, представленная на рисунке 2.16, закреплена к нижней поверхности крыла и расположена в мотогондоле.

Рисунок 2.16

Закрепление шасси по линии AB обеспечивает передачу усилий в вертикальном и продольном направлениях, но не препятствует вращению вокруг оси s и поперечному перемещению. Подкос CD препятствует вращению относительно оси s, подкосы GD и FD предотвращают вращение вокруг оси D. Нагрузки приложены к осям колес несимметрично, как показано на рисунке. Необходимо определить реактивные усилия в узлах крепления шасси и усилия в подкосах.

Решение.

1. Построим расчетную схему основной стойки шасси. Применяя метод сечений, вырежем опорные узлы, а их действие заменим реакциями опор (рис. 2.17).

Рисунок 2.17

2. Для полученной пространственной системы нагрузок составим уравнения равновесия:

 v=-V_A-V_B+V_C+20000+30000=0

 d=D_A+D_B–D_C+7500+5000=0

 mom_A(s)=V_C500–75001600–50001600=0

 mom_A(d)=V_C500–V_B1000+20000750+30000250=0

 mom_O(v)=D_A500–D_B500+7500250–5000250=0

Так как подкос CD закреплен шарнирно, то реактивное усилие направлено вдоль него. Следовательно, компоненты D_C и V_C связаны соотношением:

D_C=V_Ctgα=V_C(500/700)

Решая полученную систему уравнений, получим:

V_C=(75001600+50001600)/500=400 Н

V_B=(400500+20000750+30000250)/1000=22700 Н

V_A=50000+400-22700=27700 Н

D_B=(2500250–12214,3500)/1000=-5482,2 Н

D_A=-12214,3+5482,2=-6732,1 Н

3. Проверка:

mom_O(d)=V_A500–V_B500+20000250–30000250=27700500–22700500+20000250–30000250=0

4. Для определения усилия в подкосе GD, вырежем узел G и приложим усилие V_A и реактивное усилие N_GD со стороны отброшенной части (рис. 2.18).

Рисунок 2.18

Так как подкос закреплен шарнирно, то в нем возникнет только осевое усилие N_GD.

Запишем уравнение равновесия:

 v = -V_A–N_GD sin α = 0, откуда

N_GD= - V_A / sin α =