- •Матрицы. Системы линейных уравнений
- •1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия с матрицами
- •1.3. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителя
- •2.3. Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.5. Задачи
- •3. Обратная матрица
- •3.1. Задачи
- •4. Ранг матрицы
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление ранга матрицы
- •4.3. Задачи
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Основные определения
- •5.2. Квадратные системы. Формулы Крамера
- •5.3. Метод Гаусса
- •5.4. Задачи
- •6. Однородные линейные системы
- •6.1. Общее решение однородной системы
- •6.2. Задачи
- •7. Неоднородные системы
- •7.1. Общее решение неоднородной системы
- •7.2. Задачи
- •Литература
2.5. Задачи
1. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1,9.6,3.2.4.7.8.
б) .
в) .
2. Выбрать значения и так, чтобы произведение входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.
3. С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов побочной диагонали?
4. Найти члены определителя
,
содержащие и .
5. Пользуясь только определением, вычислить определитель
.
6. Пользуясь только свойствами определителей вычислить следующие определители:
а) . б) .
в) . г) .
д) , где .
7. Не вычисляя определителей, доказать следующие тождества:
а) .
б) .
в) .
г) .
8. Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по строке или столбцу, доказать тождество:
.
9. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель
.
Вычислить определители:
10. . 11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
В следующих задачах, где по виду определителя нельзя установить его порядок, предполагается, что он равен .
Вычислить следующие определители, приводя их к треугольному виду.
17. . 18. .
19. 20. .
Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений.
21. 22. .
23. . 24. .
Пользуясь теоремой Лапласа вычислить следующие определители.
25. . 26. . 27. .
28. . 29. .
Вычислить определители:
30. . 31. .
32. . 33. .
34. .
35. . 36. .
37. Порядок следующего определителя равен :
.
38. .
39. . 40. .
41. .
42. .
3. Обратная матрица
Квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице того же порядка, если
.
Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность матрицы т.е.
.
В этом случае обратная матрица существует, является единственной и определяется соотношением
,
где алгебраические дополнения элементов матрицы .
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
1. .
2. .
3. .
Полезно помнить, что если матрица является треугольной, то является треугольной того же типа, что и матрица . Обратная к симметричной матрице тоже симметрична.
Пример. Найти матрицу обратную к матрице
.
Определитель и, следовательно, обратная матрица существует. Алгебраические дополнения элементов матрицы равны
Поэтому
.
3.1. Задачи
Найти матрицы обратные к данным.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. .
6. .
7. Решить матричные уравнения:
а) .
б) .
8. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка , можно свести к решению систем линейных уравнений, каждая из которых содержит уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .
9. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :
а) переставить ю и ю строки?
б) ю строку умножить на число ?
в) к й строке прибавить ю, умноженную на число , или совершить аналогичное преобразование столбцов?