2. Метод простых итераций.

Приведём данное уравнение к виду удобному для итерации

В качестве начального приближения берём левую границу отрезка локализации корня x⁰= a⁰ и вычисляем значение функции в этой точке, таким образом, x¹= (x⁰) . Каждое последующее приближение будем искать как xⁿ⁺¹= (xⁿ) .

Рисунок иллюстрирует правило для вычисления следующего приближения по методу простых итераций. На этом рисунке точка М имеет координаты (x1, j (x1)), точка N – координаты (x2, j ( x1).

Условием окончания приближений будет выполнение неравенства:

,

где q берётся исходя из условия:

Скорость сходимости метода – геометрическая.

Выберем отрезок локализации корня [-3;-2] и исследуем изменение значений производной на этом отрезке. Из графика видно, что на выбранном отрезке локализации, следовательно не выполняется одно из условий сходимости метода, а значит в данном случае МПИ применять нельзя.

3. Метод Ньютона.

Пусть задано уравнение

f(x)=0.

Запишем его в виде

, где

и

.

Пусть х_к – некоторое приближение к корню х*. Для ускорения сходимости итераций желательно, чтобы был как можно меньше. Положим , то есть

Отсюда находим, что

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем рекуррентную формулу:

.

Это и есть итерационная процедура Ньютона. Скорость сходимости метода – квадратичная.

Геометрически метод выглядит так:

Теорема.

Пусть функция удовлетворяет условиям

Тогда, если члены последовательности , определяемые методом Ньютона, при любом фиксированном принадлежат отрезку [a,b] и эта последовательность сходится на [a,b] к корню уравнения, то справедливы неравенства:

Упрощённый метод Ньютона. Итерационный процесс осуществляется без вычислений значений матрицы Якоби на каждом шаге, т.е.: , при этом скорость сходимости метода снижается.

Практическая часть (листинг программы MatLab)

Вывод

Скорость сходимости МПИ – геометрическая, скорость сходимости метода Ньютона – квадратичная, следовательно, метод Ньютона сходится к решению за меньшее число итераций чем в методе Биекций или МПИ. Метод биекций имеет самую низкую сходимость, но прост в реализации.

Полученные результаты:

	Метод биекций	МПИ	Метод Ньютона
Решение	-2.1265	-
итераций	12	-

Провести сравнительный анализ экспериментальных данных не представляется возможным, так как для данного уравнения МПИ не сходится.

3. Требования к оформлению

Отчет должен содержать:

1. Постановку задачи

2. Алгоритм решения уравнения методом биекций.

3. Алгоритм решения уравнения методом простых итераций.

4. Алгоритм решения уравнения методом Ньютона.

5. Программное обеспечение в среде MatLab и найти решение системы линейных уравнений указанными методами.

6. Сравнительный анализ методов решений СЛАУ.

7. Выводы.