3. Требования к оформлению

Отчет должен содержать:

1. Постановку задачи

2. Расчёт числа обусловленности матрицы и оценка его влияния на точность решения систем линейных уравнений

3. Алгоритмы решения СЛАУ точными методами (Гаусса с выбором главного элемента, LU – разложения, методом вращений).

4. Алгоритмы решения СЛАУ итерационными методами (МПИ, методом Якоби или Зейделя).

5. Программное обеспечение в среде MatLab и найти решение системы линейных уравнений указанными методами.

6. Сравнительный анализ методов решений СЛАУ.

7. Выводы.

1.4. Список литературы

1. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 636 с., илл.

2. В.И. Крылов, В.В. Бобров, П.И. Монастырский Вычислительные методы, том II. — М.: Изд-во «Наука», 1987.

3. Корнюшин Ю.П., Мышляев Ю.И. Численные методы решения алгебраических уравнений, Калуга, 2007. 59 с.

4. Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.И. Мышляев Математическое моделирование в задачах расчета и проектирования систем автоматического управления, Калуга, 2007. 170 с.

2. Домашнее задание №2: «Методы решения нелинейных алгебраических уравнений»

Цель работы: изучение метода биекций, метода простых итераций, метода Ньютона и его модификаций решения нелинейных алгебраических уравнений.

2.1. Задание

1. Решить уравнение методом биекций.

2. Решить уравнение методом простых итераций.

3. Решить уравнение методом Ньютона.

4. Провести сравнительный анализ методов.

2.2. Пример выполнения задания

1. Метод биекций.

Алгоритм метода биекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего.

Построим график функции f(x) рисунок 1:

Рис.1

Из графика видно, что на промежутке [-2.5,1.5] функция имеет два корня. Возьмем два промежуток [-2.5,-1]

На выбранном промежутке функция f(x) монотонна и непрерывна и пересекает ось абсцисс т.к. f(a)*f(b)<0, следовательно, можно применить метод биекций.

Вводим начальные значения концов отрезка локализации а⁰, b⁰. Находим начальное приближение x⁰= 0.5*(a⁰-b⁰). Каждое последующее приближение ищем путём деления отрезка локализации пополам: xⁿ= 0.5*( aⁿ-bⁿ)

Пошагово сжимаем границы отрезка локализации, исходя из условия:

f(aⁿ)*f(xⁿ) <=0

Условием завершения вычислений является выполнение следующего неравенства: bⁿ-aⁿ<=2, тогда приближённое значение корня равно x*=xⁿ

Практическая часть (листинг программы MatLab)

function B1;

i=0;

a=-2.5;

b=-1;

eps=0.001;

while (b-a)>2*eps

i=1+i;

x=a+(b-a)/2;

if (3*a.^4+8*a.^3+6*a.^2-10).*(3*b.^4+8*b.^3+6*b.^2-10)<0 b=x; else a=x; end

end

disp('Число итераций =');disp(i);

x

Результат работы программы:

Число итераций =

10

x =

-2.1265