5. Напряжения.

Распределение внутренних сил в любом сечении тела может быть равномерным или неравномерным. Рассмотрим какое-либо сечение бруса. Пусть под действием внешних сил и их моментов в этом сечении возникает некоторая система внутренних сил. Площадь всего сечения можно разделить на ∞ множество элементарных площадок. Выделим на сечении некую элементарную площадку DS, на которую будет действовать элементарная сила DF. Отношение величины DF к величине DS выражает внутреннюю силу, отнесенную к единице площади, и называется средним напряжением.

р_ср= DF/DS

Напряжение измеряют в Паскалях. Для того, чтобы получить напряжение в точке сечения необходимо взять предел этого отношения при DF→0

Для случая равномерного распределения нагрузки по сечению полное напряжение можно определить путем деления внутренней силы действующей в этом сечении на площадь поперечного сечения.

р=F/S

Напряжение как и сила является векторной величиной. Следует иметь ввиду, что через любую точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, различно расположенных в пространстве, при этом возникающие напряжения могут быть различны. Поэтому говоря о напряжении всегда необходимо указывать сечение по которому оно действует.

Иными словами напряжение р составляет с рассматриваемой площадкой некоторый угол α. Если разложить напряжение р по нормали (перпендикуляру) к площадке DS и по направлению плоскости сечения, то получим нормальное напряжение (σ сигма), действующее перпендикулярно к плоскости сечения, и касательное напряжение (τ тау), действующее в плоскости сечения. Напряжение р называют полным напряжением.

σ=р sinα

τ= p cosα

Нормальные напряжения при растяжении как силы сопротивления стремятся воспрепятствовать отдалению частиц твердого тела друг от друга, а в случае сжатия – сближению их. Касательные напряжения также являются силами сопротивления и препятствуют сдвигу одной частицы твердого тела относительно другой, в плоскости сечения. Напряженным состоянием называют действие совокупности нормальных и касательных напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку.

6. Деформации при осевом растяжении и сжатии.

Как отмечалось ранее, в поперечном сечении бруса, под действием внешних сил возникают внутренние силовые факторы. В зависимости от того, какие силовые факторы имеют место в данном сечении бруса, определяется вид нагружения: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, изгиб или сложное сопротивление.

Растяжение (сжатие) – вид нагружения бруса, при котором в его продольном сечении возникает только продольная сила N, а остальные силовые факторы отсутствуют. При растяжении на брус действуют силы, приложенные к его торцам, равные по величине и противоположные по направлению (от сечения). При действии тех же сил в направлении к сечению возникает сжатие. Поскольку при растяжении длина бруса удлиняется, а при сжатии укорачивается, то его укорочение можно рассматривать как отрицательное удлинение.

Растягивающая сила вызывает абсолютное удлинение бруса на величину Dl и и уменьшение его поперечных размеров, сжимающая сила наоборот вызывает уменьшение длины и увеличение поперечного размера. Абсолютное удлинение или укорочение, измеренное в единицах длины (м), не дает общего представления о значительности продольной деформации. Поэтому за характеристику деформации растяжения и сжатия принимают относительное удлинение (линейная деформация) ε=Dl/l, где l – первоначальная длина. Величина ε получается в результате деления двух величин, имеющих одинаковую размерность, а следовательно сама не имеет размерности и является отвлеченным числом. Величина ε может быть выражена в %.

Для решения практических задач сопротивления материалов, важно установить взаимную связь, между линейными перемещениями, и вызвавшими их силами.

Закон Гука, устанавливает связь между нагрузкой, размерными характеристиками бруса и свойством материала из которого он изготовлен. Абсолютное удлинение (укорочение) прямо пропорционально величине силы и длине бруса и обратно пропорционально модулю продольной упругости и площади поперечного сечения.

Разделим обе части выражения на длину бруса l, получим:

Ввиду того, что сила направлена к сечению под углом 90º, можно утверждать, что полное напряжение будет иметь только нормальную составляющую. Тогда σ=р, или σ=F/S, откуда можно записать другое математическое выражение закона Гука:

т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Выразив Е через σ и ε, получим:

т.е. модуль продольной упругости представляет собой отношение нормального напряжения к соответствующему ему относительному удлинению (укорочению). Величина ε – отвлеченное число, следовательно размерность модуля упругости выражается в н/м², или кГ/см². Величина его определяется опытным путем. Приведем примеры для некоторых материалов.

Наименование материала	Модуль упругости Е
	Мн/м2	кГ/см2
Сталь	2*105 – 2,2*105	2*106 – 2,2*106
Алюминий	0,675*105	0,675*106
Чугун	0,75*105 – 1,6*105	0,75*106 – 1,6*106
Дерево вдоль волокон	1*104	1*105
Дерево поперек волокон	5*102	5*103

Закон Гука можно выразить графически. Для этого по оси Х отложим в некотором масштабе величину относительной деформации ε, а по оси Y – соответствующее ей напряжение. Тогда tgα=σ/ε, но имея выражение Е=σ/ε, получим tgα=Е. Однако закон Гука действует только до предельного значения напряжения (предела пропорциональности), а далее зависимость становиться нелинейной.

Как уже отмечалось, при растяжении (сжатии) наблюдается не только осевая деформация, но и поперечная. Опытным путем установлено, что поперечные деформации при растяжении и сжатии прямо пропорциональны продольным деформациям. По аналогии с продольной деформацией введем понятие относительной поперечной деформации.

Тогда, частное от деления относительной поперечной деформации на относительную продольную деформацию при осевом растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона и обозначается μ:

Установлено, что величина μ постоянна лишь в пределах закона Гука. Приведем несколько значений коэффициента Пуассона:

Материал	μ
Сталь	0,25-0,33
Чугун	0,23-0,27
Алюминий	0,26-0,36
Бетон	0,08-0,18
Каучук	0,47