1.3. Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние между двумя точками и :
|
(4) |
Деление отрезка АВ, в данном отношении (то есть, найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ):
, . |
(5) |
Площадь треугольника АВС с вершинами , , :
|
(6) |
Пример 3. Найти расстояние от точки до середины отрезка , где , .
Решение. Пусть точка – середина отрезка . Используя формулы (4), найдем ее координаты
.
.
Тогда расстояние от точки до середины отрезка точки по формуле (3)
.
. Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую- либо другую называется преобразованием системы координат.
Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, перемешается в точку , а направление осей и масштаб остаются неизменными. Формулы
|
(7) |
позволяют находить старые координаты по известным новым и и наоборот.
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными. Формулы
|
(8) |
называются формулами поворота осей.
2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Общее уравнение прямой на плоскости – уравнение первого порядка относительно текущих координат:
, (9)
где А,В,С– произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Если А=0, то прямая параллельна оси абсцисс, если В=0, то прямая параллельна оси ординат, если С=0, то прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
, (10)
где число называется угловым коэффициентом прямой, b – отрезок,
отсекаемый прямой на оси ординат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, определяемым угловым коэффициентом k
|
(11) |
Уравнение прямой, проходящей через две точки и :
|
(12) |
Уравнение прямой в отрезках a и b, отсекаемых прямой на координатных осях ox и oy ,соответственно
. |
(13) |
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору - нормальному:
|
(14) |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно заданному вектору - направляющему – каноническое уравнение
|
(15) |
Параметрическое уравнение получим из (15)
, |
(15) |
где t –параметр.
Полярное уравнение прямой:
. |
(17) |
Нормальное уравнение прямой:
. |
(18) |
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то величину угла между двумя прямыми легко получить из формулы
|
(19) |
Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .
Условием перпендикулярности прямых является равенство .
Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением вычисляют по формуле:
. |
(20) |
Пример 4. Найти расстояние от точки до прямой .
Решение: По формуле (20)получаем
Пример 5.
Даны вершины четырехугольника Найти точку пересечения его диагоналей и вычислить величину угла между ними.
Решение.
А(-9;0)
Рис.6.
Уравнения диагоналей – это уравнения прямых, проходящих через две заданные точки. Тогда уравнение АС
,
уравнение ВD
.
Совместно решая уравнения
,
найдем точку пересечения диагоналей .
Угол между двумя прямыми найдем по (19):
.
.
3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ