Семинары 2,3 Тема: Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной

1. Метод бисекции или метод половинного деления.

2. Метод хорд.

3. Метод Ньютона (касательных).

4. Комбинированный метод решения уравнений.

5. Метод итераций.

1. Отделить действительные корни уравнения x³+2x+1=0.

2. Рассмотреть на отрезке [0,1] уравнение x-cosx=0. Показать, что оно имеет единственный корень, и найти его приближенное значение с помощью метода бисекции.

3. Отделить корни аналитически и графически. Найти корни уравнений методом бисекции с точностью до 0,001.

а) х³ – х + 1 = 0; б) х³ + 2х - 4 = 0; в) х⁴+ 5х - 3 = 0;

г) 2,2х - 2^х = 0; д) 2^х – 2х² -1 = 0; е) 2^х – 4х = 0;

4. Вычислить с помощью метода касательных (приближенное значение =1,7320)

5. Комбинированным методом хорд и касательных вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения: .

6. Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения на промежутке [0;0,6]. Приближенные значения х₁ и х₂ вычислить с двумя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения х₂.

Отв.3: -1,325; 1,180; -1,876 0,578; 0,781 2,401; 0,0 0,399 6,352; 0,310 4,0.

Лабораторная работа: метод бисекции.

Лабраторная работа: метод Ньютона

Литература:

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. М.: «БИНОМ», 2007. -637с.

2. Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике. - М.: «Высшая школа», 1990. -208 с.

3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 2. – М.: «Мир и Образование», 2003.-416 с

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: «Наука», 1966. -664 с.

5. М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер. Численные методы. – М.: «Академия», 2007.-384с.

6. И.Д.Протасов. Лекции по вычислительной математике. – М.: «Гелиос АРВ», 2004. -184с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 1

Основные определения 1

Правила округления чисел 1

Типы погрешностей: 2

Абсолютная и относительная погрешности (АП и ОП) 2

Верные значащие цифры приближенного числа 5

Погрешности математических операций 6

Абсолютная погрешность суммы и разности 6

Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел 7

Относительная погрешность частного 8

Относительная погрешность натуральной степени и корня 8

Правила подсчета цифр 9

Общая формула для вычисления погрешностей 10

ТЕМА: Элементы теории погрешностей 11

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 13

Часть II. Методы решения нелинейных уравнений 18

Отделение корней 19

Итерационное уточнение корней 19

Метод половинного деления или бисекций 20

20

Теорема о сходимости метода бисекций 20

Метод хорд решения нелинейных уравнений 21

Оценка погрешности метода: 24

Метод Ньютона (метод касательных) 25

Теорема о сходимости метода Ньютона 26

Критерий окончания итерационного процесса 26

Комбинированный метод хорд и касательных. 27

Метод итераций 28

Теорема о сходимости итерационной последовательности 29

Критерий окончания итерационного процесса 29

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 30

Семинары 2,3 34

Тема: Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 34

Лабораторная работа: метод бисекции. 35

Лабраторная работа: метод Ньютона 36

Литература: 37

37