38

Элементы теории погрешностей Основные определения

Определение 1: Приближенным числом a называют число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

Определение 2: Округление числа – это приближенное представление числа в некоторой системе счисления с помощью конечного количества разрядов. Возникающую при этом погрешность называют погрешностью округления или ошибкой округления. Округляют как исходные данные задачи, так и полученные результаты вычислений.

Правила округления чисел

1. Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются, например: 25700203 25700200,

2. Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре добавляется 1, например: 25700267  25700300,

3. Если первая из отброшенных цифр равна 5, а среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре добавляется 1; например: 2575002  2580000,

4. Если первая из отброшенных цифр равна 5, а все остальные отброшенные цифры равны нулю, то действует правило четной цифры:

1. если последняя оставшаяся цифра четная, то она сохраняется, например: 256500  256000,

2. если последняя оставшаяся цифра нечетная, то она увеличи­вается на единицу, например: 257500  258000.

Пример 1: Пользуясь правилами округления чисел, округлить:

1) до десятых долей: 73,47373,5;

2) до сотых долей: 73,47373,47.

Важное замечание. Абсолютная погрешность округления по правилам 14 не превосходит половины единицы разряда последней оставленной цифры.

Типы погрешностей:

1. Исходные или неустранимые. К ним относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все вычисления и являются неустранимыми.

2. Погрешность метода (результат замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий).

3. Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)

Разность между точным числом А и его приближенным значением a составляет ошибку или погрешность.

-- приближенное значение a по недостатку,

-- приближенное значение a по избытку.

Как правило, знак ошибки нас не интересует, поэтому пользуются абсолютной погрешностью.

Определение 3: Абсолютная величина разности между точным числом А и его приближенными значениями а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а и обозначается

Пример 2: Пусть Тогда абсолютная погрешность

Значение точного числа А всегда заключено в границах

Значение числа А можно записать так:

.

По абсолютной погрешности нельзя судить о том, насколько точно или грубо произведено измерение или вычисление, а именно, какую долю в значении числа составляет погрешность . В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Определение 4: Относительной погрешностью (ОП) приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения числа т.е.

Так как точное значение числа А, как правило, неизвестно, то можно воспользоваться формулой:

П той же причине (А неизвестно) вместо значений абсолютной и относительной погрешности получают их оценки сверху, котрые имеют вид:

   ,

и называются верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей соответственно.

В дальнейшем мы будем пользоваться просто символами и , имея в виду погрешности (если есть возможность их найти) либо их оценки сверху.

Пример 3: Число 75,3 получено округлением. Оценить абсолютную погрешность округления.

Решение: Точное значение числа неизвестно. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютная погрешность не превышает ( ) 0,05. Запишем это так: 75,3 или . В качестве границы абсолютной погрешности берут по возможности наименьшее число.

Пример 4: Пусть при измерении книги и длины стола получены результаты

см и см.

Найти относительную погрешность измерения книги стола:

или 0,35%.

или 0,09%.

Таким образом, измерение стола было произведено гораздо точнее.