Графические методы изображения

Для наглядного представления вариационного ряда использую полигоны, гистограммы, кумуляты, кривые концентрации (Лоренца) огивы и т.д.

Полигон – графическое изображение вариационного ряда в прямоугольной системе координат, при котором значения величины признака х откладываются на оси абсцисс, соответствующие им частоты m или частости w (точнее плотность распределения) – на оси ординат, полученные точки соединяем отрезками прямой. Чаще всего полигон применяется для изображения вариационного ряда, но может применяться и для интервальных рядов. Сумма всех ординат полигона равна сумме всех частот вариационного ряда n или ∑m

вставить рис.

Гистограмма –графическое изображение интервального вариационного ряда в виде прямоугольников разной высоты, основания которых-отрезки оси абсцисс, соответствующие интервалам изменения признака. Высоты прямоугольников пропорциональны при равенстве интервалов частотам или частостям интервалов, а при неравенстве –плотностям распределения (абсолютным или относительным).

вставить рис.

Кумулятивная кривая (кривая сумм –кумулята) – графическое изображение вариационного ряда, составленное по последовательно суммированным, т.е. накопленным, частотам или частостям. При построении кумуляты дискретного признака на ось абсцисс наносятся значения признака (варианты). Ординатами служат нарастающие итоги частот или частостей. Соединением вершин ординат прямыми линиями получаем ломаную линию –кумуляту. При построении кумуляты интервального признака нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней- вся частота первого интервала. Верхней границе второго интервала соответствует его накопленная частота, т.е. сумма частот первых двух интервалов и т.д. Верхней границе последнего( максимального интервала) соответствует накопленная частота, равная сумме всех частот.

вставить рис.

Средние величины

Применяют в качестве важнейших характеристик вариационного ряда, полученного при обработке экономических данных. Средняя величина – обобщающая количественная характеристика совокупности по одному варьирующему признаку.

Средние
1.средние простые (среднеарифметические)	суммальные	степенные,	средние арифметические, средние гармонические, средние квадратические, средние параболические и т.д.
		логарифмические, показательные, параболические и др.
2.средние взвешенные (вычисляются по вариационному ряду с учетом статистического веса каждого варианта (числа повторений вариантов)	Структурные (порядковые)	мода, медиана, квартили, децили и др.

Взвешивание средних- расчет средних с учетом их весов ( частот).

Взвешивание:

-для средней арифметической - деление суммы произведений вариантов на их веса на сумму весов

Х ср= ∑Х/n =( Х1+Х2+ …Хn) / /n- невзвешенная

Х ср = ∑ X*m / ∑ m = ( Х1* m1 +Х2*m2 +….Х*mn ) / (m1+m2+…mn) -взвешенная

-для средней гармонической – деление суммы весов на сумму частных от их деления на соответствующие варианты. Обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака, т.е. из вариантов 1/х1,1/х2….

Х ср гарм= n/ ( 1/х1+1/х2+… 1/Хn) n/ ∑ 1/x=- невзвшешенная

Х ср гарм = (m1+m2+…mn) / ( m1/x1+m2/x2+…mn/xn) =∑ m/ ∑ m/x взвешенная

-для средней геометрической – извлечение суммы корня степени, равной сумме весов из произведения вариантов, возведенных в степень, показатель которой соответствующий вес

n

Х ср геом = √ П(Х) -невзвешенная

∑ m m

Х ср геом = √ П ( x ) –взвешенная

Темп роста ( К р) –средняя величина отношения последующего уровня ряда динамики к предыдущему, выраженная в %- рассчитывается по формуле средней геометрической:

n

Кр = √ y n / yo

Пример: за 5 лет выпуск продукции вырос в 1,5 раза. Средний ежегодный коэффициент роста:

5

Кр =√ 1,5 = 1,084

Средняя квадратическая – корень квадратный из средней из квадратов; используется в тех случаях, когда варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средней арифметической. Средняя квадратическая получается из формулы степенной средней при Z =2

Х кв = √ ∑ Х² / n –невзвешенная

Х кв = √ ∑ Х² *m /∑ n -взвешенная

При составлении структурных группировок на основе варьирующих количественных признаков необходимо определить количество групп и интервалы группировки. Если в задании точно не указано количество групп разбиения исследуемой совокупности, то ориентировочно его можно определить по формуле Стерджесса:

N = 1+3,322 *lg n (1)

где n –численность единиц совокупности

Для группировок с равными интервалами величина интервала определяется:

H =(xmax -x min ) / n (2)

Для расчета числовых характеристик вариационных рядов целесообразно применять следующие зависимости:

-средняя арифметическая взвешенная:

n n

Х ср =∑ Хi * fi / =∑ fi (3)

i=1 i=1

-мода:

Мо=Хмо +h* (fмо - fмо-1) / (fмо – fмо-1)+( fмо – fмо+1) (4)

где -

-медиана-значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Если в совокупности нечетное число единиц, т.е. 2m +1, то значение признака y (m+1) –й единицы будет медианным. Если в совокупности четное число, т.е. 2m единиц, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений вариантов

-1

Ме = Х меmin +h * (∑ f /2- S ме) : fме (5)

Ме = Х меmin + к * (0,5*∑ m – V ме -1) : m ме

где Х меmin –нижняя граница медианного интервала

к- интервальная разность или величина интервала

V ме -1 - накопленная частота или частость интервала, предшествующего медианному

0,5*∑ m – половина суммы всех частот или частостей

m ме – частота медианного интервала

или к первой формуле:

Х меmin- нижняя граница медиального интервала

h - величина интервала

∑ f /2 –полусумма всех частот ряда

S ме - сумма частот интервалов, предшествующих медианному

Fме -частота медианного интервала

Главное свойство медианы состоит в том, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины ( в т.ч. и от средней арифметической):

∑[х -Ме ] = min

Пример: расчет медианы

Интервал	Частость, w	Накопл. частость,V	интервал	Частость ,w	Накопл. частость,V
0-5	4,6	4,6	30-35	8,1
5-10	2,4	7,0	35-40	5,7	78,8
10-15	2,5	9,5	40-45	4,6	84,5
15-20	17,7	27,2	45-50	3,4	89,1
20-25	24,0	51,2	50-55	2,3	92,5
25-30	19,5	70,7	55-60	5,2	94,8
				100	100

Медиану содержит интервал 20-25,т.е. первый. Накопленная частость которого превышает половину объема вариационного ряда.

Тогда Ме = 20+5*(50-27,2):24=24,75

Мода( Мо) –наиболее часто встречающийся вариант в данном вариационном ряду. Для дискретного ряда мода определяется по частотам вариантов и соответствует варианту с наибольшей частотой. В случае интервального распределения с интервалами интервал, содержащий моду (модальный) определяется по наибольшей частоте, а при неравных интервалах – по наибольшей плотности.

При равных интервалах мода внутри модального интервала определяется по следующей формуле:

Мо = xMomin +k* (wMo – W mo-1): (wMo – W mo-1)+( wMo – W mo+1)

где xMomin- нижняя граница модального интервала

k-интервальная разность или величина интервала

wMo -частость модального интервала

W mo-1- частость интервала, предшествующего модальному

W mo+1 - частость интервала, последующего за модальным

Пример расчета моды ( см. пред. таблицу)

Мода 20+5*(24-17,7)/ (24-17,7)+(24-19,5)= 22,9

Показатели колеблемости:

1.Вариационный размах- ®-амплитуда колебаний или широта рассеяния, представляет собой разность между экстремальными значениями вариационного ряда

R = хmax –X min

2. Среднее линейное отклонение, или простое среднее отклонение (Ԛ) –средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантов от средней. В зависимости от отсутствия или наличия статистических весов среднее линейное отклонение вычисляют по следующим формулам:

Ԛ= ∑ (Х – Х ср.) : n - невзвешенное

Ԛ= ∑ (Х – Х ср.)*m : ∑m взвешенное

3. Дисперсия –(ơ² ) – средний квадрат отклонений вариантов (Х) от средней арифметической (Хср) ( в советской статистике называлась девиатой). Она является мерой вариации, т.е. колеблемости признака. Дисперсия вычисляется по формулам:

ơ² = ∑ (Х – Х ср.)² : n

ơ^{2 =}∑ (Х – Х ср.)²*m : ∑m

где m – статистический вес или частота

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины (с) равна нулю

ơ²_с =0

2.если все значения вариантов признака х уменьшить на постоянную величину (хо), то дисперсия не изменится

ơ² _{х-х о} = ơ²_х

И т.д.

Вычисление дисперсии методом отсчета от условного нуля-производят по формуле:

ơ² =∑((х-хо)/К) ² *m :∑m*К² - (Хср-Хо)²

где К –интервальная разность

Из последней формулы при Хо=О и К =1 выводится еще одна формула дисперсии:

ơ² = Хср² -( Хср)²

где Хср² -средняя из квадратов вариантов

( Хср)² – квадрат средней

Пример: расчет дисперсии методом отсчета от условного нуля

Центр интервала-Х	Частота-m	Х-Хо	(Х-Хо) /к=Х1	(Х1)*m	(Х1)2*m
550	1	-400	-4	-4	16
650	7	-300	-3	-21	63
750	15	-200	-2	-30	60
850	31	-100	-1	-31	31
950	54	0	0	0	0
1050	27	100	1	27	27
1150	17	200	2	34	68
1250	9	300	3	27	81
1350	2	400	4	8	32
1450	1	500	5	5	25
	164	-	-	15	403

Принимаем: Хо =950, К=100. Тогда Х¹ ср= 15/164=0,09146

Хср= Х¹ср*К + Хо=0,09146*100+950=959,146

ơ² = 403/164*100² - 9,146² =24489,52141

Среднее квадратическое отклонение- ơ –стандартное отклонение, представляющее собой меру колеблемости - вычисляется как средняя квадратическая из отклонений вариантов от их средней арифметической.

Ơ =√ ( ∑( х – хср)² / n- невзвешенное

Ơ =√ ( ∑( х – хср)^{2 *}m / ∑m –взвешенное

Ơ выражено в тех же единицах измерения, что и сами варианты. Оно приближенно связано с вариационным размахом (R) при данном объеме совокупности (n). Эта связь при симметричном или близком к нему распределении признака выражается формулой:

Ơ = R*к,

где к –коэффициент, определяемый в зависимости от объема совокупности из табл.